Tal vez lo más conveniente, previo a abordar cada uno de los casos que puedan servir de ejemplo a la manera correcta en que debe ser resuelta toda operación que plantee elevar a un exponente la operación de producto sostenida entre dos fracciones, sea revisar de forma breve la propia definición de esta operación, a fin de entender cada uno de estos ejemplos en su contexto preciso.
Potencia de un producto de fracciones
No obstante, tal vez lo mejor es recordar primero que las Matemáticas definen las fracciones como toda expresión matemática, usada para representar cantidades no enteras o no exactas. Así mismo, esta disciplina advierte que siempre las fracciones se encontrarán compuestas por dos elementos: numerador, que ocupará la parte superior de la expresión, señalando cuántas partes del todo se han tomado; y el denominador, que servirá para indicar en cuántas partes se encuentra divido este todo.
En cuanto a la operación de potencia de un producto de fracciones, básicamente se puede decir que es un procedimiento consistente en elevar a un exponente determinado una operación de multiplicación, en donde los factores son potencias. En este sentido, se deberá multiplicar por sí misma esta operación de producto, tantas veces como señale el exponente que le corresponde, a fin de dar cumplimiento a la condición de multiplicación abreviada con la que cuenta la operación de potenciación.
Pasos para resolver una potencia de producto de fracciones
Así mismo, las Matemáticas señalan que este tipo de procedimiento deberá ser resuelto según un método específico, consistente en un grupo de pasos, que serán cumplidos en el siguiente orden:
- En primer lugar, se deberá comenzar por conocer los elementos y características que componen cada una de las fracciones que comprenden la operación de producto.
- Así mismo, se tendrá en cuenta el valor del exponente al cual es elevada esta operación.
- Se procederá entonces a elevar cada fracción al exponente al que ha sido elevada la operación de producto.
- Hecho esto, se resolverá por separado cada operación de potenciación de base racional que se ha obtenido, lo cual se hará elevando cada elemento al exponente pertinente.
- Obtenidas las fracciones, producto de las respectivas potencias de base racional, se deberá proceder a multiplicar ambas fracciones, recordando que el numerador de una se debe multiplicar por el denominador de la segunda, mientras que se hará igual con los denominadores de cada fracción.
- Finalmente, se buscará simplificar la fracción obtenida.
Igualmente, la disciplina matemática señala que la forma correcta de resolver esta operación podrá ser expresada de la siguiente manera:
Ejemplos de cómo resolver la potencia de un producto de fracciones
Sin embargo, quizás la forma más eficaz de estudiar este tipo de operaciones sea a través de la exposición de algunos ejemplos, que permitan ver de forma práctica cómo se cumplen cada uno de los pasos señalados por las Matemáticas. A continuación, algunos ejercicios de cómo hallar la potencia del producto de fracciones:
Ejemplo 1
Resolver la siguiente operación:
Hecho este planteamiento, se comenzará entonces por elevar cada fracción al exponente al que se ha elevado la operación de producto que ambas constituyen:
En segundo lugar, se resolverá entonces cada una de las potencias de base racional que se han generado:
Obtenido este resultado, se deberá continuar con la multiplicación de fracciones:
Resuelta la operación de producto, se buscará entonces simplificar la fracción:
Al llegar a la forma más simple posible, se asume resuelta la operación.
Ejemplo 2
Resolver la siguiente operación:
En este caso se tiene una operación de producto elevada a un exponente negativo, para solucionar esta operación se deberá elevar cada factor de la multiplicación a este exponente:
Llegado a este punto, previo a elevar cada fracción a su exponente respectivo, lo mejor será hacer que el exponente pase de ser negativo a positivo, lo cual se logrará invirtiendo los elementos de cada operación:
Teniendo ahora un exponente positivo, se pasará a resolver cada una de las operaciones de potencias de base racional:
En este punto se debe continuar con la multiplicación de fracciones:
Se procederá entonces a simplificar la operación:
Lo que habría podido hacerse suprimiendo los 27 encontrados en ambos factores. Sin poder simplificar más la operación, se considerará resuelta la operación.
Ejemplo 3
Resolver la siguiente operación:
Al analizar cada uno de los elementos que constituyen esta operación, se tendrá que se trata de una multiplicación de fracciones elevadas al cero. Se comenzará, cónsono con el procedimiento indicado por las Matemáticas a elevar a este exponente cada uno de los factores de la multiplicación:
Al hacerlo, se deberá dar solución entonces a cada potencia de base racional, sin embargo, al estar elevada cada una de ellas al cero, se deberá recordar la ley matemática que señala que siempre que una fracción está elevada al exponente cero dará como resultado la unidad:
Se tendrá entonces que el resultado de la operación es igual a 1. De igual forma, al ver en principio que la operación de producto se encontraba elevada a este exponente, se podría interpretar este resultado sin necesidad de elevar cada factor de la multiplicación a este número, de esta manera habría podido simplemente resolverse de esta manera:
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