Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que sea necesario comenzar por la propia definición de Conjunto, a fin de tener presente la naturaleza del objeto matemático que da paso a este tipo de conjuntos. Así mismo, resultará importante revisar la definición de Conjuntos iguales, ya que esto ayudará a tener conciencia sobre el tipo de conjuntos respecto a los cuales se dan los ejemplos que se abordarán de forma posterior. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Conjunto

De esta manera, se dirá entonces que las Matemáticas han definido de forma general al Conjunto como una colección abstracta de elementos, los cuales se distinguen principalmente por presentar al menos un rasgo en común, lo que a su vez permite que estos sean entendidos como parte de una misma naturaleza, de ahí que sean vistos como una agrupación. Por otro lado, esta disciplina también ha señalado que el Conjunto cuenta con una característica principal: estar constituido por un grupo de elementos, que tienen como tarea conformarlo y definirlo de forma única y exclusiva.

Conjuntos iguales

De igual forma, los Conjuntos iguales serán concebidos como colecciones abstractas, que cumplen con la característica de tener la misma cantidad e identidad de elementos. En este orden de ideas, dos o más conjuntos pueden ser considerados como colecciones iguales cuando sus elementos coincidan por completo. En términos matemáticos, dos colecciones pueden ser vistas como Conjuntos Iguales si:

•  Estas coinciden en cuanto a su Cardinalidad.
• El resultado de sus operaciones de Unión o Intersección dan como resultado una tercera colección idéntica a los conjuntos que han participado de la operación.
• El Conjunto A es subconjunto de B, tanto como el conjunto B es subconjunto de A.
• Toda operación de Diferencia entre los conjuntos involucrados dará como resultado el Conjunto vacío.

Ejemplos de Conjuntos iguales

No obstante, puede que la forma más eficiente de explicar la naturaleza y características de los Conjuntos iguales sea a través de la exposición de algunos casos concretos que puedan servir de ejemplo, tal como los que se muestran seguidamente:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, constituido por nombres de mujeres que comiencen por la letra “t”: A= {Teresa, Tamara, Tabatha, Tatiana, Tania} y un conjunto B, en donde se puedan contar como elementos nombres de femeninos que terminen por la letra “a”: B= {Teresa, Tamara, Tabatha, Tatiana, Tania} determinar si se trata de Conjuntos iguales:

Para cumplir con la solicitud hecha en este postulado, se puede optar por revisar cada uno de los conjuntos, a fin de determinar si A es subconjunto de B, así también como B puede ser considerado un subconjunto de A:

A= {Teresa, Tamara, Tabatha, Tatiana, Tania}
B= {Teresa, Tamara, Tabatha, Tatiana, Tania}

Al hacerlo, se puede ver en efecto cómo cada uno de los elementos de A se encuentran en B: A ⊆ B. Igualmente, se puede ver cómo cada uno de los elementos de B, se encuentran en A: B ⊆ A. Por ende se tiene entonces que ambos conjuntos pueden ser señalados como Conjuntos Iguales:

A = B ↔ A ⊆ B ˄  B ⊆ A

Ejemplo 2

Dado un conjunto A, en el cual se pueden contar como elementos nombres de frutas que comiencen por la letra “m”: A= {Mango, Maní, Mandarina, Melón, Maracuyá} y un conjunto B, conformado por nombres de frutas en general: B= {Melón, Maracuyá, Mango, Maní, Mandarina} establecer si se está en presencia de conjuntos iguales:

Con el fin de cumplir con la tarea planteada por este postulado, se puede optar por ejemplo por establecer entre ellos una operación de Intersección, la cual debería arrojar una tercera colección que coincidiera de forma absoluta con cada uno de los conjuntos involucrados:

A= {Mango, Maní, Mandarina, Melón, Maracuyá}
B= {Melón, Maracuyá, Mango, Maní, Mandarina}

A ∩ B= {Mango, Maní, Mandarina, Melón, Maracuyá}

Al realizar la operación, en efecto se consigue como resultado un tercer conjunto que contiene cada uno de los elementos que se encuentran tanto en A como en B, lo cual solo es posible si A es igual a B: A=B. Este caso, sirve también como ejemplo de que no siempre dos conjuntos deben tener el mismo orden de elementos para ser considerados como iguales, pues para esto solo importa que coincidan en cuanto a su Cardinalidad y la identidad de sus elementos.

Ejemplo 3

Dado un conjunto A, constituido por nombres de ciudades por la letra “b”: A= {Barranquilla, Bogotá, Buenos Aires, Brasilia} y un conjunto B es donde se puedan contar como elementos nombres de ciudades latinoamericanas: B= {Barranquilla, Bogotá, Buenos Aires, Brasilia} determinar si puede hablarse de Conjuntos iguales en este caso:

Otra opción para aclarar si dos conjuntos pueden ser asumidos como Conjuntos iguales es realizar entre ellos una operación de Diferencia, la cual –en caso de que efectivamente las colecciones involucradas sean iguales- debería dar como resultado el Conjunto vacío:

A= {Barranquilla, Bogotá, Buenos Aires, Brasilia}
B= {Barranquilla, Bogotá, Buenos Aires, Brasilia}

A\\B= {Barranquilla, Bogotá, Buenos Aires, Brasilia} \\ {Barranquilla, Bogotá, Buenos Aires, Brasilia}
A\\B= ∅

Al establecer esta operación de Diferencia se obtendrá una colección sin elementos, puesto que no existirá ningún elemento que estando en A no esté en B, así como en viceversa tampoco se podrá encontrar ningún elemento que estando en B no aparezca en A, lo cual solo es posible si se está frente a dos conjuntos iguales: A=B.

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