Entre los distintos Productos notables se encuentra el Cuadrado de binomio. Sin embargo, antes de exponer algunos ejemplos sobre esta regla matemática fija, se revisarán algunos conceptos, que de seguro permitirán entender cada procedimiento en su justo contexto matemático.
Definiciones fundamentales
No obstante, puede que también sea necesario delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Binomio, Productos notables y Binomio al cuadrado, por encontrarse directamente relacionados con los ejercicios que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:
Binomio
De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han explicado el Binomio como una expresión algebraica constituida por dos monomios –expresiones que son definidos a su vez como términos compuestos por un numeral y un literal entre los que ocurren una operación de multiplicación- o un monomio y un término independiente, que sostienen entre ellos operaciones de resta o suma.
Es decir, un Binomio también puede ser definido como un polinomio de dos términos. Un ejemplo de esta clase de expresión algebraica sería el siguiente:
3x2 + 2y =
Productos notables
En segunda instancia, también será necesario lanzar luces sobre el concepto de Productos notables, los cuales han sido descritos por las distintas fuentes como el grupo de reglas matemáticas fijas, que orientan el proceso de Factorización, es decir, convertir la expresión algebraica en producto.
Así mismo, las Matemáticas han señalado que los Productos notables son reglas que permiten realizar operaciones con los polinomios de forma mucho más sencilla y precisa, en tanto evitan que deba realizarse los procedimientos término por término, sino que se hace la operación de forma directa, ahorrando tiempo y errores. Por ende, los Productos notables facilitan el manejo matemático de los polinomios.
Cuadrado de un binomio
Por último, será también necesario traer a capítulo el concepto de Cuadrado de un binomio, el cual ha sido explicado –a grandes rasgos- como uno de los distintos productos notables que existen en cuanto a la factorización de polinomios, en específico de aquellos compuestos por tan solo dos términos.
De manera mucho más precisa, y según señalan las fuentes matemáticas, siempre que se quiera elevar un Binomio a un Cuadrado, se deberá tener en cuenta de que el resultado será igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más la suma de doble del producto de estos términos, sin elevarse al cuadrado. Esta regla puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Ejemplos de Binomio al cuadrado
Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a algunos procedimientos, que sirvan de ejemplo concreto a cómo debe aplicarse este producto notable. A continuación, los siguientes ejercicios:
Ejemplo 1
Calcular el cuadrado del siguiente binomio: 3x + 2y =
Para cumplir con lo pedido por el planteamiento, se debe aplicar entonces lo que dice la regla del Cuadrado de un binomio. Por ende, se expresará primero la elevación del número al cuadrado. Luego, se sumará el cuadrado del primer término, más el doble del producto de los dos términos, sin elevarse al cuadrado, más el cuadrado del segundo término:
(3x + 2y)2 =
(3x)2 + 2.(3x . 2y) + (2y)2=
9x2 + 12xy + 4y2
Ejemplo 2
Calcular el cuadrado del siguiente binomio: 8 + x =
De igual forma, a la hora de dar cumplimiento a lo solicitado en el planteamiento, se deberá entonces aplicar lo que dicta el producto notable correspondiente: sumar el cuadrado de cada uno de los términos del binomio, más el doble del producto de los términos, sin elevar al cuadrado.
(8 + x)2 =
(8)2 + 2.(8 . x) + (x)2 =
64 + 16x + x2 =En este caso, una vez obtenido el cuadrado del polinomio, podría también proceder a ordenarse. Para esto, se dispondrán los términos, según su grado, de mayor a menor. Es importante recordar que el grado de cada monomio lo da el exponente al cual se encuentra elevado su literal:
(8 + x)2 = 64 + 16x + x2
64 + 16x + x2 = x2 + 16x + 64
Ejemplo 3
Elevar el siguiente binomio al cuadrado: 3x – 1=
Igualmente, se tomar el Binomio, se expresa la elevación al cuadrado, y se comienza a aplicar lo que dicta el producto notable. Sumar el cuadrado de cada monomio más el doble del producto de los monomios sin elevarse al cuadrado. En este caso, la operación entre monomios es una resta, por lo que se debe respetar el signo, al momento de hacer la operación:
(3x – 1)2 =
(3x)2 – 2.(3x . 1) + (1)2
9x2 – 6x + 12 = 9x2 – 6x + 1
Ejemplo 4
Elevar la siguiente expresión algebraica al cuadrado: 4x + 2 + 5 =
En este caso, se puede observar un monomio y dos términos independientes. Por lo tanto, antes de continuar con la operación, se puede optar por sumar entre sí los términos independientes, a fin de simplificar la expresión:
4x + 2 + 5 = 4x + 7
Al hacerlo, se obtiene un Binomio. En consecuencia, si se quisiera elevar esta expresión al cuadrado, se deberá aplicar lo que dicta el producto notable inherente a los binomios. Es decir, que la operación se resolverá sumando el cuadrado de cada término más el doble del producto entre ellos, sin elevar al cuadrado:
(4x + 7)2 =
(4x)2 + 2 . (4x . 7) + (7)2 =
16x2 + 56x + 49Se expresa entonces el resultado obtenido en la operación:
(4x + 7)2 = 16x2 + 56x + 49
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