Antes de exponer algunos ejemplos sobre la aplicación de la Identidad de Legendre, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender esta identidad notables, dentro de su propio contexto matemático.
Definiciones fundamentales
Por consiguiente, se decidirá igualmente delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Binomios, Identidades notables e Identidad de Legendre, por estar directamente relacionadas con los ejercicios que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:
Binomios
En primer lugar, podrá comenzarse por decir que los binomios han sido explicados, de forma general por las Matemáticas, como una expresión algebraica, constituida a base de la suma o resta de dos Monomios, es decir, de términos algebraicos que se encuentran conformados a su vez por un elemento numérico y un elemento literal entre los que ocurre una multiplicación, siendo esta la única operación posible entre ellos.
Por ende, algunas fuentes matemáticas también coinciden en señalar los binomios como un polinomio de dos términos. Algunos ejemplos de esta clase de expresión algebraica son los siguientes:
3x3 – y =
a + b =
x2 + z =
Identidades notables
Por otro lado, es importante también tomar en cuenta el concepto de Identidades notables, las cuales han sido explicadas, a grandes rasgos, como un conjunto de leyes o fórmulas matemáticas orientadas a la factorización.
Es decir, las identidades notables son fórmula matemáticas que permiten que dos o más polinomios se conviertan en producto, o se multipliquen, de forma directa, sin necesidad de que deban hacerlo paso por paso, o término por término, lo cual a la larga se traduce en un ahorro de tiempo, e incluso en una reducción del riesgo de cometer errores durante el proceso. Las identidades notables son parte de los productos notables.
Identidad de Legendre
Finalmente, se pasará revista sobre el concepto de la identidad de Legendre, la cual ha sido explicadas, de forma general, como una de las distintas identidades notables que pueden encontrarse en relación a la Factorización.
Así mismo, ya de forma más específica, la Identidad de Legendre ha sido explicada como la fórmula matemática o conjunto de reglas que da solución directa a toda suma o diferencia de binomios cuadrados conjugados, o dicho en otras palabras, a toda suma o sustracción de polinomios de dos términos que se encuentren elevados al cuadrado, y que se distingan por ser iguales en sus término, y sólo diferenciarse en su signo.
En consecuencia, se pueden considerar dos distintas fórmulas para la aplicación de la Identidad de Legendre:
Para la suma de binomios cuadrados conjugados:
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
Para la diferencia de binomios cuadrados conjugados
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Ejemplos de Identidad de Legendre
Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre las distintas aplicaciones de la Identidad de Legendre, tanto si los binomios cuadrados conjugados se encuentran sumándose, o si establecen entre ellos una sustracción. A continuación, cada uno de los siguientes ejemplos:
Ejemplo de aplicación de Identidad de Legendre para la suma
En primer lugar, se revisará cómo se aplica esta identidad notable cuando los binomios cuadrados conjugados sostienen entre sí una operación de suma:
Resolver la siguiente operación:
(x + 5)2 + (x – 5)2 =
En este caso, lo primero que deberá hacerse es revisar los elementos que conforman la suma de binomios. Al hacerlo, se puede determinar que se trata de binomios al cuadrado conjugados, por lo que la solución a esta operación será entonces posible a través de la Identidad de Legendre.
Para aplicarla, será necesario también recordar la fórmula que implica esta identidad notable, cuando se trata de dos binomios cuadrados conjugados que se suman:
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
Teniendo en cuenta esta regla matemática, se procede entonces a su aplicación:
(x + 5)2 + (x – 5)2 = 2(x2 + 52)
2(x2 + 52) = 2(x2 + 25)2(x2 + 25) = 2x2 + 50
Una vez resueltas las distintas operaciones planteadas por la aplicación de la fórmula, solo queda expresar el resultado de forma matemática:
(x + 5)2 + (x – 5)2 = 2x2 + 50
Ejemplo de aplicación de Identidad de Legendre para la suma
Por otro lado, también se tomará un momento para ver de cerca la aplicación de la Identidad de Legendre en caso de que los binomios cuadrados estén sosteniendo entre ellos una operación de resta o sustracción, tal como se ve seguidamente:
Resolver la siguiente operación:
(2x + 7)2 – (2x – 7)2 =
Así también, ante esta operación, lo primero que deberá hacerse es revisar los términos entre los cuales se sostiene. Al hacerlo, se observa que se trata entonces de dos binomios cuadrados perfectos, entre los que se sostiene una resta. Por ende, en este caso, también se puede aplicar la Identidad de Legendre.
Para esto, se comenzará recordando cuál es la fórmula que conviene en esta operación:
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Y una vez hecho esto, se procede entonces a llevarla al ejercicio propuesto:
(2x + 7)2 – (2x – 7)2 = 4.(2x).(7)
4.(2x).(7) = 8x . 7
8x . 7 = 56x
Finalmente, se expresa el resultado que se ha obtenido al resolver las distintas operaciones, surgidas al aplicar la Identidad de Legendre en este caso:
(2x + 7)2 – (2x – 7)2 = 56x
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