Antes de exponer algunos de los tantos ejemplos que pueden darse en relación a la aplicación de la Identidad de Legendre cuando los binomios cuadrados conjugados establecen entre ellos una operación de sustracción o diferencia, se revisarán algunas definiciones, que ayudarán a entender cada uno de estos ejercicios, en su propio contexto matemático.
Definiciones fundamentales
Por consiguiente, se tomará también la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Binomios, Identidades notables e Identidad de Legendre para la diferencia, por encontrarse directamente relacionada a los ejercicios que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:
Binomios
De esta manera, podrá comenzarse por decir que los Binomios han sido explicados, por las distintas fuentes como uno de los principales tipos de expresiones algebraicas.
Para ser más precisos, los Binomios son definidos igualmente como una expresión constituida por la suma o la resta de dos monomios, es decir, de dos términos algebraicos, que se encuentran conformados a su vez por un elemento numérico y un elemento literal, entre los que se establece una operación de multiplicación, siendo esta la única aceptada entre ellos.
Por ende, los Binomios son entonces polinomios de dos términos. Un ejemplo de este tipo de expresiones serán los siguientes:
2x3 + y =
a – b =
4x2 + z =
Identidades notables
Por otro lado, también será necesario lanzar luces sobre el concepto de Identidades notables, las cuales han sido explicadas entonces como un conjunto de reglas o normas matemáticas, que tienen como norte la factorización, o en otras palabras, el proceso por medio del cual un polinomio puede ser expresado como un producto.
De acuerdo a lo que señalan las distintas fuentes, las Identidades notables tienen como meta el lograr que la multiplicación entre polinomios pueda hacerse de forma directa, sin necesidad de que se deba procesar término por término, lo que no solo trae un ahorro importante de tiempo, sino que reduce en buena parte la posibilidad de errores en la realización de esta operación. Las identidades notables han sido clasificadas junto a los productos notables.
Identidad de Legendre
Finalmente, se traerá a capítulo el concepto de Identidad de Legendre, la cual ha sido explicada, de forma general, como una de las distintas identidades notables, que pueden conseguirse en referencia a la factorización de polinomios.
Así mismo, las Matemáticas señalan que este tipo de identidad notable se deberá aplicar siempre que los polinomios a factorizar se encuentren constituidos por binomios cuadrados conjugados, es decir, por polinomios de dos términos, que coinciden por completo en sus términos, diferenciándose tan solo por los signos que relacionan sus monomios, y que además se encuentran elevados al cuadrado.
En el caso específico de Identidad de Legendre para la diferencia, los binomios cuadrados conjugados se restan entre sí, y de acuerdo a esta regla matemática, siempre que se desee factorizar este tipo de polinomios, el producto será igual entonces al cuádruple del producto de los términos. Esta regla matemática se puede expresar de la siguiente forma:
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Ejemplos de aplicación de Identidad de Legendre para la diferencia
Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre la Identidad de Legendre en casos de diferencia. A continuación, los siguientes ejercicios:
Ejemplo 1
Factorizar los siguientes binomios:
(2x + 7)2 – (2x – 7)2 =
Lo primero que se hará al aproximarse al ejercicio será revisar sus términos. Al hacerlo, se concluye que se trata de factorizar binomios cuadrados conjugados, entre los que se establece una operación de sustracción. Entre las opciones de resolución, se decide aplicar la Identidad de Legendre para estos casos.
Para esto, se comienza entonces a recordar cuál es la fórmula matemática relacionada con esta identidad notable:
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Se procede entonces a aplicar esta fórmula a los binomios que se quieren factorizar:
(2x + 7)2 – (2x – 7)2 = 4. (2x) . (7)
Hecho esto, se deben resolver entonces las operaciones que han surgido de la aplicación de esta identidad notable:
4.(2x) . (7) = (8x). (7)
(8x). (7) = 56x
Por último, se expresa entonces el resultado obtenido:
(2x + 7)2 – (2x – 7)2 = 56x
Ejemplo 2
Factorizar los siguientes binomios:
(5x2 + y3)2 – (5x2 – b3)2 =
En este caso, también se deberá iniciar con una revisión de los términos que participarán de la Factorización. Al hacerlo, se determina que se trata igualmente de la diferencia entre binomios cuadrados conjugados. Así mismo, se decide que se factorizarán estos binomios aplicando entonces la Identidad de Legendre correspondiente según la característica de los elementos.
Por ende, se aplica entonces la fórmula:
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
(5x2 + y3)2 – (5x2 – b3)2 = 4(5x2).(b3)
Hecho esto, se comienza entonces a resolver cada una de las distintas operaciones que se plantearon una vez se aplicó la identidad notable:
4(5x2).(b3) = 20x2b3
Por último, se expresa el resultado obtenido:
(5x2 + y3)2 – (5x2 – b3)2 = 20x2b3
Ejemplo 3
Factorizar los siguientes monomios:
(5x + 2y) – (5x – 2y) =
Ante esta operación, corresponde igualmente aplicar la Identidad de Legendre para la diferencia. Por ende, lo primero que se hace es aplicar la fórmula matemática a los binomios que desean factorizarse:
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
(5x + 2y) – (5x – 2y) = 4.(5x).(2y)
Se resuelven entonces las operaciones:
4.(5x).(2y) = 20x . 2y
20x . 2y = 40xy
Finalmente, se expresa de forma matemática la solución:
(5x + 2y) – (5x – 2y) = 40xy
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