Antes de exponer algunos ejemplos sobre la forma de aplicar las Identidades de Cauchy, cuando implica resta, se revisarán algunas definiciones, que permitirán entender cada uno de estos ejercicios dentro de su justo contexto matemático.
Definiciones fundamentales
Por consiguiente, también se tomará la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Binomios, Identidades notables e Identidades de Cauchy cuando el binomio implica resta, por encontrarse directamente relacionadas con los ejercicios que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:
Binomios
De esta forma, podrá comenzarse por decir que los Binomios han sido explicados, por las distintas fuentes, como uno de los distintos tipos de expresiones algabraicas que existen.
Así mismo, de forma mucho más específica, los Binomios han sido explicados como la expresión compuesta por la suma o la resta de dos monomios, es decir, de dos términos algebraicos, constituidos a su vez por un elemento numérico y un elemento literal, entre los que sólo puede ocurrir una operación de multiplicación.
Por ende, el Binomio puede ser también explicado como un polinomio de dos términos. Algunos ejemplos de este tipo de expresión serán los siguientes:
2x + y=
5y4 + z2 =
x2 – y =
Identidades notables
Por su lado, también se tomará un momento para lanzar luces sobre el concepto de Identidades notables, las cuales han sido explicadas, de forma general, como un conjunto de leyes o fórmulas matemáticas, orientadas a la Factorización, es decir, al proceso por medio del cual se logra hacer que un polinomio pase a expresarse como un producto.
En consecuencia, las Identidades notables ofrecen fórmulas o métodos matemáticos que permiten realizar la multiplicación entre polinomios de forma directa, sin necesidad de que se deba procesar elemento por elemento, lo cual se traducirá entonces en un ahorro de tiempo, al tiempo que permitirá evitar ciertos errores.
Identidades de Cauchy cuando el binomio implica resta
Finalmente, se tomará en cuenta la definición de Identidades de Cauchy, cuando el binomio implica resta, las cuales han sido explicadas, a grandes rasgos, como una clase de identidad notable, que permita factorizar polinomios.
Bajo una mirada más precisa, las Identidades de Cauchy, cuando el binomio implica resta, es una regla matemática que indica que siempre que un monomio, elevado al cubo, se constituya en base a la resta de sus monomios, el producto final será igual al cubo del primer término, menos el cubo del segundo término, menos al triple del producto de los término por la resta de estos. De forma matemática, esta identidad notable puede expresarse de la siguiente manera:
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a-b)
Ejemplos de identidades de Cauchy cuando el binomio implica resta
Toda vez se han tenido en cuenta estos conceptos, puede que realmente sea mucho más sencillo aproximarse a algunos de ejercicios que sirvan de ejemplo a la forma adecuada en que debe ser resuelto todo binomio elevado al cubo y que implique resta de sus monomios. A continuación, los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1
Resolver la siguiente operación:
(x – 2y)3 =
Al momento de comenzar a resolver este ejercicio, se comenzará por revisar los elementos que lo constituyen. Una vez hecho esto, se determina que se trata de un binomio elevado al cubo y que implica resta. Para resolver esta operación, uno de los posibles métodos es la Identidad de Cauchy.
Decidida la utilización de esta identidad notable, se comienza entonces a aplicar la fórmula de la Identidad de Cauchy al binomio:
(x – 2y)3 =
(x – 2y)3 = (x)3 – (2y)3 – 3(x)(2y).(x-2y)
Se comienzan a resolver cada una de las distintas operaciones, que han sido planteadas en el ejercicio:
(x)3 – (2y)3 – 3(x)(2y).(x-2y) =
x3 – 8y3 – 3xy.(x-2y) =
x3 – 8y3 – 3x2y – 6xy2
Obtenido este resultado, se organizan los términos:
x3 – 8y3 – 3x2y – 6xy2 = x3 – 3x2y – 6xy2 – 8y3
Por último, se expresa el resultado de la operación:
(x – 2y)3 = x3 – 3x2y – 6xy2 – 8y3
Ejemplo 2
Resolver el siguiente ejercicio:
(x -5)3 =
En este caso, se comenzará igualmente por revisar los elementos entre los que se establece el ejercicio. Al hacerlo, se encuentra que se trata de un binomio elevado al cubo, y que implica resta. Para resolverlo, se decide que también se aplicará la Identidad de Cauchy:
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a-b)
Se comienza entonces por aplicar esta fórmula matemática al ejercicio que se ha planteado:
(x – 5)3 = (x)3 – (5)3 – 3(x)(5)(x-5)
Hecho esto, se comienza entonces a resolver cada una de las operaciones planteadas en el ejercicio:
(x)3 – (5)3 – 3(x)(5)(x-5) =
x3 – 125 – 15x.(x-5)=
x3 – 125 – 15x2 – 75x=
Se procede entonces a organizar los elementos:
x3 – 125 – 15x2 – 75x=
x3 – 15x2 – 75x – 125 =
Por último, se expresa el resultado obtenido:
(x -5)3 = x3 – 15x2 – 75x – 125
Ejemplo 3
Resolver la siguiente operación:
(2x – 4y)3 =
Para dar solución a esta operación, se deberá comenzar por revisar los distintos elementos que existen. Al hacerlo, se determina que se trata de un binomio elevado al cubo, en donde sus elementos constituyen una resta. Para realizar esta operación se ha decidido también la Identidad de Cauchy. Para realizarlo, se inicia aplicando a la operación la fórmula:
(2x – 4y)3 = (2x)3 – (4y)3 – 3.(2x).(4y).(2x – 4y)
Posteriormente, se resuelven cada una de las operaciones planteadas por este ejercicio:
(2x)3 – (4y)3 – 3.(2x).(4y).(2x – 4y) =
8x3 – 64y3 – 24xy.(2x – 4y) =
8x3 – 64y3 – 48x2y – 96xy2 =
Hecho esto, se procede a organizar los elementos que se han obtenido:
8x3 – 64y3 – 48x2y – 96xy2 → 8x3 – 48x2y – 96xy2 – 64y3
Por último se expresa el resultado obtenido:
(2x – 4y)3 = 8x3 – 48x2y – 96xy2 – 64y3
Imagen: pixabay.com
