Operación de Diferencia entre conjuntos

En este sentido, se puede comenzar por decir entonces que la Diferencia entre conjuntos ha sido definida por el Álgebra de Conjuntos como una operación en la cual dos conjuntos establecen una diferencia entre ellos, a fin de poder comparar los elementos que tiene cada uno, constituyendo un nuevo conjunto, en donde pueden contarse aquellos elementos que, bien existiendo en el primer conjunto, no pueden encontrarse en el segundo. En otras palabras, la Diferencia será aquella operación en donde un conjunto A se compara con un conjunto B, dándose entonces la creación de un conjunto A \\ B en donde los elementos serán todos aquellos elementos de A que no existen en B.

Ejemplos operación de Diferencia

Revisada la definición que el Álgebra de Conjuntos da sobre la operación de Diferencia será entonces mucho más sencillo aproximarse a cada uno de los casos que pueden servir de ejemplo a esta operación. A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, conformado por animales cuyo nombre comience por la letra “e”: A= {Elefante, Erizo, Esturión, Estrella de mar, Estornino, Espátula} y un conjunto B, constituido por nombres de animales en general: B= {Perro, Gato, Elefante, Jirafa, Rinoceronte, Esturión} realizar una operación de Diferencia de la forma A\\B.

Para dar cumplimiento con el postulado de este ejercicio, se deberá comenzar entonces por plantear la operación:

A= {Elefante, Erizo, Esturión, Estrella de mar, Estornino, Espátula}
B= {Perro, Gato, Elefante, Jirafa, Rinoceronte, Esturión}

A\\B=

A\\B= {Elefante, Erizo, Esturión, Estrella de mar, Estornino, Espátula} \\ {Perro, Gato, Elefante, Jirafa, Rinoceronte, Esturión}

A\\B= {Erizo, Estrella de mar, Estornino, Espátula}

En este caso, el conjunto resultante de esta operación, será equivalente entonces a A\\B= {Erizo, Estrella de mar, Estornino, Espátula}

Ejemplo 2

Dado un conjunto A, en donde puedan contarse colores cálidos: A= {Amarillo, Naranja, Rojo-Naranja, Marrón, Rojo} y un conjunto B, conformado por nombres de colores en general: B= {Violeta, Azul, Rojo, Verde, Turquesa, Amarillo, Gris} establecer operaciones de Diferencia en el sentido B\\A.

En este caso, la operación se hará invirtiendo el orden de los conjuntos que participan en ella. Sin embargo, ése es el único cambio, pues igualmente se deberá comenzar por expresar la operación:

A= {Amarillo, Naranja, Rojo-Naranja, Marrón, Rojo}
B= {Violeta, Azul, Rojo, Verde, Turquesa, Amarillo, Gris}

B\\A=

B\\A= {Violeta, Azul, Rojo, Verde, Turquesa, Amarillo, Gris} \\ {Amarillo, Naranja, Rojo-Naranja, Marrón, Rojo}
B\\A= {Violeta, Azul, Verde, Turquesa, Gris}

El resultado final de este ejercicio, en donde la Diferencia siguió el sentido B\\A es {Violeta, Azul, Verde, Turquesa, Gris}

Ejemplo 3

Dado un conjunto A,  en donde pueden contarse nombres de frutas cítricas: A= {Pomelo, Toronja, Naranja, Maracuyá, Mandarina, Limón, Lima} y un conjunto B, constituido por nombres de frutas en general: B= {Durazno, Sandía, Ananá, Pomelo, Uva, Papaya, Naranja} establecer una operación de Diferencia, tanto en el sentido A\\B como en el sentido B\\A.

En este caso, se seguirá exactamente el mismo procedimiento, el cual comienza por expresar la operación, para así poder comparar con mayor facilidad cada uno de los elementos de los conjuntos, construyendo el tercer conjunto con aquellos elementos que pueden hallarse en el primer conjunto pero no en el segundo:

Resolución de la Diferencia en el sentido A\\B:

A= {Pomelo, Toronja, Naranja, Maracuyá, Mandarina, Limón, Lima}
B= {Durazno, Sandía, Ananá, Pomelo, Uva, Papaya, Naranja}

A\\B=

A\\B= {Pomelo, Toronja, Naranja, Maracuyá, Mandarina, Limón, Lima} \\ {Durazno, Sandía, Ananá, Pomelo, Uva, Papaya, Naranja}

A\\B= {Toronja, Maracuyá, Mandarina, Limón, Lima}

Resolución de la Diferencia en el sentido B\\A:

A= {Pomelo, Toronja, Naranja, Maracuyá, Mandarina, Limón, Lima}
B= {Durazno, Sandía, Ananá, Pomelo, Uva, Papaya, Naranja}

B\\A=

B\\A= {Durazno, Sandía, Ananá, Pomelo, Uva, Papaya, Naranja} \\ {Pomelo, Toronja, Naranja, Maracuyá, Mandarina, Limón, Lima}

B\\A= {Durazno, Sandía, Ananá, Uva, Papaya}

En este ejercicio entonces se obtienen dos resultados, según el sentido en el que se haya establecido la operación de Diferenciación entre estos conjuntos, por lo que nuevamente se comprueba que en la operación de Diferencia entre conjuntos no es posible hablar de Propiedad Conmutativa :

A\\B= {Toronja, Maracuyá, Mandarina, Limón, Lima}
B\\A= {Durazno, Sandía, Ananá, Uva, Papaya}

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