Definiciones fundamentales

En consecuencia, quizás se deba abordar en primera instancia el propio concepto de Conjunto, a fin de que se pueda tener claridad respecto a la naturaleza del objeto sobre el que se realiza la operación de Diferencia Simétrica. Así mismo, se puede pasar revista a la definición de Diferencia Simétrica, siendo esta la operación en la cual puede ser observada esta propiedad. A continuación, los siguientes conceptos:

Conjunto

En cuanto al Conjunto, se puede decir que las Matemáticas lo han explicado como un objeto, que se encuentra conformado por un conjunto de elementos, entre los cuales puede identificarse un rasgo en común, de ahí que puedan ser relacionados con la misma naturaleza, y se les considere como una colección abstracta. De igual forma, esta disciplina ha señalado que estos elementos tienen la misión de conformar y definir al Conjunto, de una forma única y exclusiva. En lo referente a su notación, el Conjunto debe ser nombrado entonces según una letra mayúscula, mientras que sus elementos serán anotados en forma de listado, siendo separados por una coma, y contenidos entre signos de llaves { }.

Diferencia Simétrica

Así también, será necesario revisar la definición de Diferencia Simétrica, la cual ha sido concebida por el Álgebra de Conjuntos como una operación básica, mediante la cual dos conjuntos forman una tercera colección, en donde se anotarán como elementos todos aquellos correspondientes al primer conjunto, que no puedan hallarse en el segundo, así como todos los elementos que se encuentren en la segunda colección sin que aparezcan en la primera. Dicho de otro modo, en una operación de Diferencia Simétrica, un conjunto A y un conjunto B dan origen a un conjunto A∆B conformado por cada uno de los elementos que aparece en uno solo de los conjuntos.

Propiedad asociativa en la Diferencia Simétrica

En último lugar, puede ser importante hacer mención de la definición de la Propiedad Asociativa en la Diferencia Simétrica, la cual puede ser explicada a su vez como una propiedad matemática, que tiene lugar en esta operación, y que implica que en el caso de haber más de dos conjuntos, estos pueden asociase de formas distintas, sin que estas asociaciones alteren en algo el resultado final. Esta propiedad matemática cuenta también con la siguiente expresión:

(A∆B)∆C = A∆(B∆C)

Ejemplos Propiedad Asociativa (Diferencia Simétrica)

Con estas definiciones un poco más claras, quizás resulte mucho más sencillo entender esta propiedad, y las distintas operaciones que deben realizarse a la hora de comprobarse si realmente se cumple o no. No obstante, la forma más eficiente de explicarla puede ser a través de la exposición de ejemplos concretos, como los que se muestran a continuación:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, conformado por nombres de frutas en general: A= {Sandía, Melón, Papaya, Níspero, Naranja, Toronja, Durazno, Fresa}; un conjunto B, en donde se puedan contar como elementos nombres de frutas cítricas: B= {Naranja, Mandarina, Toronja, Pomelo, Maracuyá} y un conjunto C, constituido por nombre de frutas que empiecen por la letra “m”: C= {Mandarina, Maracuyá, Melón, Manzana, Mango, Mora, Melocotón} comprobar cómo se cumple la Propiedad Asociativa en una operación de Diferencia Simétrica.

Para dar cumplimiento a la solicitud hecha en este postulado, se deberá resolver cada una de las operaciones que pueden verse en la expresión matemática de la Propiedad Asociativa de la Diferencia Simétrica, a fin de poder comparar los resultados y establecer si realmente las distintas asociaciones que puedan presentarse no cambian estos:

A= {Sandía, Melón, Papaya, Níspero, Naranja, Toronja, Durazno, Fresa}
B= {Naranja, Mandarina, Toronja, Pomelo, Maracuyá}
C= {Mandarina, Maracuyá, Melón, Manzana, Mango, Mora, Melocotón}

(A∆B)∆C = A∆(B∆C)

Primera asociación: (A∆B)∆C=

A∆B= {Sandía, Melón, Papaya, Níspero, Naranja, Toronja, Durazno, Fresa} ∆ {Naranja, Mandarina, Toronja, Pomelo, Maracuyá}
A∆B= {Sandía, Melón, Papaya, Níspero, Durazno, Fresa, Mandarina, Pomelo, Maracuyá}

(A∆B)∆C= {Sandía, Melón, Papaya, Níspero, Durazno, Fresa, Mandarina, Pomelo, Maracuyá} ∆ {Mandarina, Maracuyá, Melón, Manzana, Mango, Mora, Melocotón}
(A∆B)∆C= {Sandía, Papaya, Níspero, Durazno, Fresa, Pomelo, Manzana, Mango, Mora, Melocotón}

Segunda asociación: A∆(B∆C)=

B∆C= {Naranja, Mandarina, Toronja, Pomelo, Maracuyá} ∆ {Mandarina, Maracuyá, Melón, Manzana, Mango, Mora, Melocotón}
B∆C= {Naranja, Toronja, Pomelo, Melón, Manzana, Mango, Mora, Melocotón}

A∆(B∆C)= {Sandía, Melón, Papaya, Níspero, Naranja, Toronja, Durazno, Fresa} ∆ {Naranja, Toronja, Pomelo, Melón, Manzana, Mango, Mora, Melocotón}
A∆(B∆C)= {Sandía, Papaya, Níspero, Durazno, Fresa, Pomelo, Manzana, Mango, Mora, Melocotón}

Hecho esto, se deberán comparar los resultados alcanzados para ver si realmente se ha producido el mismo conjunto:

(A∆B)∆C= {Sandía, Papaya, Níspero, Durazno, Fresa, Pomelo, Manzana, Mango, Mora, Melocotón}
A∆(B∆C)= {Sandía, Papaya, Níspero, Durazno, Fresa, Pomelo, Manzana, Mango, Mora, Melocotón}

En este caso se puede ver cómo realmente, independientemente de las asociaciones que se han realizado, la operación de Diferencia Simétrica consiguió el mismo conjunto. Por lo tanto, se ha comprobado la Propiedad asociativa, puesto que: (A∆B)∆C = A∆(B∆C)

Ejemplo 2

Dado un conjunto A, constituido por instrumentos musicales de cuerda: A= {Guitarra, Piano, Violín, Viola, Violonchelo, Bandolina, Bajo, Contrabajo}; un conjunto B, en donde se puedan contar como elementos instrumentos musicales cuyo nombre comience por la letra “v”: B= {Violín, Violonchelo, Viola, Vuvuzela, Vibráfono}; un conjunto C, conformado por instrumentos musicales que comiencen por la letra “p”: C= {Pandereta, Piano, Pífano, Platillos} y un conjunto D que tenga por elementos instrumentos musicales en general: D= {Xilófono, Batería, Bajo, Violín, Maracas, Güiro, Saxofón, Piano} comprobar cómo se cumple la Propiedad Asociativa en la operación de Diferencia Simétrica.

Este caso, es un ejemplo de que no siempre las operaciones que se usen para comprobar esta propiedad constarán solamente de tres conjuntos. No obstante, el procedimiento será exactamente el mismo, se expresará la propiedad que quiere comprobarse, y se realizarán las debidas operaciones, con el objetivo de hallar iguales resultados en cada uno de las asociaciones que se establezcan:

A= {Guitarra, Piano, Violín, Viola, Violonchelo, Bandolina, Bajo, Contrabajo}
B= {Violín, Violonchelo, Viola, Vuvuzela, Vibráfono}
C= {Pandereta, Piano, Pífano, Platillos}
D= {Xilófono, Batería, Bajo, Violín, Maracas, Güiro, Saxofón, Piano}

(A∆B)∆C∆D = A∆(B∆C)∆D = A∆B∆(C∆D) = (A∆B)∆(C∆D)

Primera asociación: (A∆B)∆C∆D =

A∆B= {Guitarra, Piano, Violín, Viola, Violonchelo, Bandolina, Bajo, Contrabajo} ∆ {Violín, Violonchelo, Viola, Vuvuzela, Vibráfono}
A∆B= {Guitarra, Piano, Bandolina, Bajo, Contrabajo, Vuvuzela, Vibráfono}

(A∆B)∆C= {Guitarra, Piano, Bandolina, Bajo, Contrabajo, Vuvuzela, Vibráfono} ∆ {Pandereta, Piano, Pífano, Platillos}
(A∆B)∆C= {Guitarra, Bandolina, Bajo, Contrabajo, Vuvuzela, Vibráfono, Pandereta, Pífano, Platillos}

(A∆B)∆C∆D= {Guitarra, Bandolina, Bajo, Contrabajo, Vuvuzela, Vibráfono, Pandereta, Pífano, Platillos} ∆ {Xilófono, Batería, Bajo, Violín, Maracas, Güiro, Saxofón, Piano}

(A∆B)∆C∆D= {Guitarra, Bandolina, Contrabajo, Vuvuzela, Vibráfono, Pandereta, Pífano, Platillos, Xilófono, Batería, Violín, Maracas, Güiro. Saxofón, Piano}

Segunda asociación: A∆(B∆C)∆D =

B∆C= {Violín, Violonchelo, Viola, Vuvuzela, Vibráfono} ∆ {Pandereta, Piano, Pífano, Platillos}
B∆C= {Violín, Violonchelo, Viola, Vuvuzela, Vibráfono, Pandereta, Piano, Pífano, Platillos}

A∆(B∆C)= {Guitarra, Piano, Violín, Viola, Violonchelo, Bandolina, Bajo, Contrabajo} ∆ {Violín, Violonchelo, Viola, Vuvuzela, Vibráfono, Pandereta, Piano, Pífano, Platillos}
A∆(B∆C)= {Guitarra, Bandolina, Bajo, Contrabajo, Vuvuzela, Vibráfono, Pandereta, Pífano, Platillos}

A∆(B∆C)∆D = {Guitarra, Bandolina, Bajo, Contrabajo, Vuvuzela, Vibráfono, Pandereta, Pífano, Platillos} ∆ {Xilófono, Batería, Bajo, Violín, Maracas, Güiro, Saxofón, Piano}
A∆(B∆C)∆D = {Guitarra, Bandolina, Contrabajo, Vuvuzela, Vibráfono, Pandereta, Pífano, Platillos, Xilófono, Batería, Violín, Maracas, Güiro, Saxofón, Piano}

Tercera asociación: A∆B∆(C∆D) =

C∆D= {Pandereta, Piano, Pífano, Platillos} ∆ {Xilófono, Batería, Bajo, Violín, Maracas, Güiro, Saxofón, Piano}
C∆D= {Pandereta, Pífano, Platillos, Xilófono, Batería, Bajo, Violín, Maracas, Güiro, Saxofón}

B∆(C∆D)= {Violín, Violonchelo, Viola, Vuvuzela, Vibráfono} ∆ {Pandereta, Pífano, Platillos, Xilófono, Batería, Bajo, Violín, Maracas, Güiro, Saxofón}
B∆(C∆D)= {Violonchelo, Viola, Vuvuzela, Vibráfono, Pandereta, Pífano, Platillos, Xilófono, Batería, Bajo, Maracas, Güiro, Saxofón}

A∆B∆(C∆D) =  {Guitarra, Piano, Violín, Viola, Violonchelo, Bandolina, Bajo, Contrabajo} ∆ {Violonchelo, Viola, Vuvuzela, Vibráfono, Pandereta, Pífano, Platillos, Xilófono, Batería, Bajo, Maracas, Güiro, Saxofón}
A∆B∆(C∆D) = {Guitarra, Piano, Violín, Bandolina, Contrabajo, Vuvuzela, Vibráfono, Pandereta, Pífano, Platillos, Xilófono, Batería, Maracas, Güiro, Saxofón}

Cuarta asociación: (A∆B)∆(C∆D)=

A∆B= {Guitarra, Piano, Violín, Viola, Violonchelo, Bandolina, Bajo, Contrabajo} ∆ {Violín, Violonchelo, Viola, Vuvuzela, Vibráfono}
A∆B= {Guitarra, Piano, Bandolina, Bajo, Contrabajo, Vuvuzela, Vibráfono}

C∆D= {Pandereta, Piano, Pífano, Platillos} ∆ {Xilófono, Batería, Bajo, Violín, Maracas, Güiro, Saxofón, Piano}
C∆D= {Pandereta, Pífano, Platillos, Xilófono, Batería, Bajo, Violín, Maracas, Güiro, Saxofón}

(A∆B)∆(C∆D)= {Guitarra, Piano, Bandolina, Bajo, Contrabajo, Vuvuzela, Vibráfono} ∆ {Pandereta, Pífano, Platillos, Xilófono, Batería, Bajo, Violín, Maracas, Güiro, Saxofón}

(A∆B)∆(C∆D)= {Guitarra, Piano, Bandolina, Contrabajo, Vuvuzela, Vibráfono, Pandereta, Pífano, Platillos, Xilófono, Batería, Violín, Maracas, Güiro, Saxofón.

Hechas las respectivas operaciones, se procederá entonces a comparar cada uno de los resultados de cada asociación:

(A∆B)∆C∆D= {Guitarra, Bandolina, Contrabajo, Vuvuzela, Vibráfono, Pandereta, Pífano, Platillos, Xilófono, Batería, Violín, Maracas, Güiro. Saxofón, Piano}

A∆(B∆C)∆D = {Guitarra, Bandolina, Contrabajo, Vuvuzela, Vibráfono, Pandereta, Pífano, Platillos, Xilófono, Batería, Violín, Maracas, Güiro, Saxofón, Piano}

A∆B∆(C∆D) = {Guitarra, Piano, Violín, Bandolina, Contrabajo, Vuvuzela, Vibráfono, Pandereta, Pífano, Platillos, Xilófono, Batería, Maracas, Güiro, Saxofón}

(A∆B)∆(C∆D)= {Guitarra, Piano, Bandolina, Contrabajo, Vuvuzela, Vibráfono, Pandereta, Pífano, Platillos, Xilófono, Batería, Violín, Maracas, Güiro, Saxofón}

Al hacerlo, se puede comprobar cómo coinciden plenamente en cada uno de sus elementos, aunque se puedan presentar alguna variación en el orden de estos elementos.  Por ende, se asume como comprobada la propiedad asociativa en la Diferencia Simétrica:

(A∆B)∆C∆D = A∆(B∆C)∆D = A∆B∆(C∆D) = (A∆B)∆(C∆D)

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