Producto cartesiano de conjuntos

En este sentido, se puede comenzar por decir que el Producto Cartesiano puede ser entendido entonces como una operación del Álgebra de Conjuntos, por medio de la cual se establece una multiplicación entre dos conjuntos, de forma A x B, la cual debía ser respondida sometiendo cada uno de los elementos del conjunto A por cada uno de los elementos del conjunto B, lo que al final da origen a un conjunto A x B, en donde se pueden contar como elementos todos los pares conformados, en donde siempre se anotará primero el elemento de A, seguido por el elemento de B:

A x B= (a,b)

Cómo debe realizarse el Producto Cartesiano

Así mismo, el Álgebra de Conjuntos da cuenta de algunos de los pasos que deben seguirse a la hora de realizar una operación de este tipo, y que pueden ser resumidos en los siguientes puntos:

• Una vez se ha indicado que se debe realizar una operación de Producto Cartesiano entre dos conjuntos, se procede a expresar la operación, colocando todos los elementos del conjunto A frente a los elementos del conjunto B.
• Se decidirá en ese momento si se hará uso de la galera, o por el contrario, simplemente se procederá a multiplicar directamente cada uno de los elementos.
• Decidido el método, se procede a multiplicar el primer elemento de A por cada uno de los elementos de B, resultados que se van anotando en orden de consecución.
• Se repite esta operación, tantas veces como elementos tenga A.
• Se expresa el resultado, estando el conjunto formado dentro de llaves, y cada uno de los pares entre paréntesis.

Ejemplos de cómo resolver operaciones de Producto cartesiano

No obstante, quizás la forma más eficiente de explicar cómo dar respuesta a este tipo de operaciones del Álgebra de conjuntos, sea a través de la exposición de algunos ejemplos, en donde se puedan ver entonces las operaciones y procedimientos involucrados. A continuación, algunos de ellos:

Solución por medio del uso de la galera

En primer lugar, se puede abordar el cómo resolver estas operaciones a través del método que implica el uso de la galera, para lo cual se puede emplear el siguiente ejemplo:

Dado un conjunto A, conformado por los números del 1 al 5: A= {1, 2, 3, 4, 5} y un conjunto B, en donde puedan contarse como elementos las letras de la “a” a la “c”: B= {a, b, c} realizar una operación de Producto Cartesiano.

Para dar cumplimiento a la solicitud hecha en este ejercicio, se deberá comenzar por declarar tanto los conjuntos, como la operación que se realizará:

A= {1, 2, 3, 4, 5}
B= {a, b, c}

A x B=
A x B= {1, 2, 3, 4, 5} x {a, b, c}

Hecho esto, se deberá llevar la operación a la galera, en donde el eje horizontal será tomado por el conjunto A, mientras que el eje vertical corresponderá entonces al Conjunto B. Igualmente, las multiplicaciones de elementos, se harán de izquierda a derecha, y de abajo hacia arriba:

Finalmente, se expresa el resultado de la operación, a través de un conjunto, en donde pueden leerse como elementos cada uno de los pares conseguidos a raíz de la operación de Producto cartesiano:

A x B= {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c), (4,a), (4,b), (4,c), (5,a),(5,b), (5,c)}

Solución por multiplicación directa

Pese a que la solución de operaciones de Producto cartesiano por medio del uso de la galera, suele ser una de las más populares, pues permite ver de forma mucho más clara la operación realizada, esta operación también puede resolverse a través de multiplicación directa, tal como puede verse en el siguiente ejemplo:

Dado un conjunto A, constituido por nombres de frutas: A= {Pera, Manzana, Mandarina, Sandía} y un conjunto B, conformado por los colores primarios: B= {Amarillo, Azul, Rojo} establecer entre ellos una operación de Producto Cartesiano:

A fin d dar cumplimiento con lo solicitado en el planteamiento, se deberá proceder entonces a expresar tanto los conjuntos como la operación que busca hacerse con ellos:

A= {Pera, Manzana, Mandarina, Sandía}
B= {Amarillo, Azul, Rojo}

A x B=
A x B= {Pera, Manzana, Mandarina, Sandía} x {Amarillo, Azul, Rojo}

Hecho esto, de forma directa, se deberá multiplicar el primer elemento del conjunto A por cada uno de los elementos del conjunto B, anotando los resultados como pares:

Primer grupo de pares: (Pera, Amarillo), (Pera, Azul), (Pera, Rojo)

Igualmente, se multiplica el segundo elemento de A con cada uno de los elementos de B, a fin de obtener el otro grupo de pares:

Se obtiene entonces un segundo grupo de pares: (Manzana, Amarillo), (Manzana, Azul) (Manzana, Rojo).

Para obtener el tercer grupo de pares, se multiplica el tercer elemento de A por todos u cada uno de los elementos de B:

Se obtiene entonces un tercer grupo de pares: (Mandarina, Amarillo), (Mandarina, Azul), (Mandarino, Rojo)

Finalmente, se hace la misma operación entre el cuarto elemento del conjunto A y cada uno de los elementos del conjunto B:

Se obtiene un cuarto grupo de pares: (Sandía, Amarillo), (Sandía, Azul), (Sandía, Rojo)

Por último, se expresa el nuevo conjunto AxB, para lo que se colocarán entonces todos los pares obtenidos en igual orden de hallazgo:

AxB= {(Pera, Amarillo), (Pera, Azul), (Pera, Rojo), (Manzana, Amarillo), (Manzana, Azul) (Manzana, Rojo), (Mandarina, Amarillo), (Mandarina, Azul), (Mandarino, Rojo), (Sandía, Amarillo), (Sandía, Azul), (Sandía, Rojo)}

Imagen: pixabay.com