Antes de abordar la exposición de algunos ejemplos sobre la forma adecuada, según los Productos notables, en los que debe resolverse todo Producto de dos binomios con un Factor común, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender cada uno de estos procedimientos en su justo contexto matemático.
Definiciones fundamentales
Así también, se tomará la decisión de delimitar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Binomios, Factor común, Productos notables y Producto de dos binomios con factor común, por encontrarse directamente relacionadas con los ejemplos que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:
Binomio
De esta manera, podrá comenzarse por decir que las Matemáticas explican los Binomios como expresiones algebraicas, compuestas por dos monomios -los cuales son definidos por su parte como un término algebraico constituido por un elemento numérico y un elemento literal entre los que solo puede existir una operación de multiplicación- que establecen entre ellos operaciones de suma o resta.
Por ende, siendo entonces los Binomios un par de monomios que se suman o restan entre sí, las Matemáticas los explican también como un polinomio de dos términos. A continuación, un ejemplo de la forma que puede tener un binomio:
2x2 + 5y =
Factor común
En segundo lugar, también será necesario lanzar luces sobre la definición de Factor común, la cual ha sido explicada, por las distintas fuentes, como una de las distintas propiedades que las matemáticas reconocen en la operación de multiplicación.
De forma mucho más específica, la disciplina matemática indica que el Factor común puede ser considerado también como una forma inversa de la Propiedad distributiva, en tanto es una Ley matemática que indica que toda vez que la suma de dos elementos se multiplica por otro elemento, entonces este producto puede resultar igual a la suma de cada uno de los productos de los elementos no comunes por el factor que sí lo es. Esta propiedad de la multiplicación puede ser expresada, matemáticamente hablando, de la siguiente manera:
c . (a + b) = c . a + c . b
Productos notables
Otra de las definiciones que deberán tenerse en cuenta es la de los Productos notables, los cuales han sido explicados, de forma general, como un conjunto de leyes matemáticas, que tienen como objetivo la Factorización de polinomios, es decir, el procedimiento matemático por medio del cual se toma un polinomio y se expresa como un producto.
Así mismo, las Matemáticas han señalado que los Productos notables cumplen con la función de facilitar las operaciones de multiplicación entre polinomios, pues ofrecen una forma directa o abreviada de hacer estas operaciones, sin la necesidad de tener que procesar cada uno de los elementos. Por ende, los Productos notables ahorran buena cantidad de tiempo, haciendo mucho más sencilla las operaciones, al tiempo que reducen el riesgo a cometer errores en el proceso.
Producto de dos binomios con un factor común
Finalmente, también será preciso traer a capítulo el concepto de Producto de dos binomios con un factor común, el cual ha sido explicado, a grandes rasgos, como uno de los principales Productos notables, reconocidos por las Matemáticas.
Por igual, las Matemáticas señalan que este Producto notable indica que siempre que se plantee una multiplicación entre dos binomios, en los cuales se pueda identificar un factor común, el resultado de esta operación será igual al cuadrado de este factor común más el producto de la suma se los elementos no comunes por el factor común más el producto de los elementos no comunes. Esta regla matemática puede expresarse matemáticamente de la siguiente forma:
(x+a) . (x + b) = x2 + (a + b).x + ab
Ejemplos de Productos de dos binomios con un factor en común
Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo exponer algunos ejemplos con respecto a este producto notable, concerniente a la multiplicación de dos binomios con un factor común. A continuación, los siguientes ejercicios:
Ejemplo 1
Multiplicar el siguiente binomio:
(x + 2) . (x + 4) =
Al momento de abordar el ejercicio, se deberán revisar los términos que se multiplican. Una vez hecho esto, se concluye entonces que se trata de la multiplicación de dos binomios, en donde además existe un factor común, materializado en la x, por lo que para resolver la operación se deberá aplicar entonces el Producto notable correspondiente: Producto de dos binomios con un factor común.
Para esto, se recordará entonces que el resultado será igual al cuadrado del factor común, más el producto de este factor común por la suma de los elementos que no lo son, más el producto de los elementos no comunes:
(x + 2) . (x + 4) =
x2 + (2 + 4) . x + (2.4) =
x2 + 6x + 8Una vez realizada la operación, se expresa entonces el resultado:
(x + 2) . (x + 4) = x2 + 6x + 8
Ejemplo 2
Multiplicar el siguiente binomio:
(x + 3) . (x – 8) =
En este caso, también se puede concluir que se trata de la multiplicación de dos binomios, entre los que existe un factor común, por lo que hay que aplicar el Producto notable específico. Así mismo, se debe tener conciencia de los signos que tiene cada elemento delante, pues estos también deben ser multiplicados según la ley de signos:
(x + 3) . (x – 8) =
x2 + (3 – 8) . x + (3 . -8) =
x2 + (-5) x + (-24) =
x2 – 5x – 24
Por último, se debe expresar el resultado obtenido en la multiplicación:
(x + 3) . (x – 8) = x2 – 5x – 24
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