Previo a realizar la exposición de algunos ejemplos sobre la forma correcta en que debe procederse siempre que quiera determinarse el Producto de tres binomios con un factor común, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este producto notable dentro de su justo contexto matemático.
Definiciones fundamentales
Por consiguiente, también se considerará delimitar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Binomios, Factor común, Productos notables y Producto de tres binomios con factor común, por encontrarse directamente relacionados con los ejemplos que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:
Los binomios
De esta manera, podrá comenzarse por decir que los Binomios han sido explicados por las Matemáticas, de forma general, como una clase de expresión algebraica constituida por la suma o resta de dos monomios, es decir, de términos algebraicos, compuestos a su vez por un elemento numérico y un elemento literal, entre los que solo se puede establecer una operación de multiplicación, pues es la única admitida entre ellos.
En consecuencia, los Binomios también pueden ser explicados entonces como polinomios de dos términos. Un ejemplo de estas expresiones puede ser la siguiente:
2x3 + 4y =
Factor común
Así también, será necesario lanzar luces sobre el concepto de Factor común, el cual ha sido explicado por las distintas fuentes como uno de las principales propiedades matemáticas que existen en referencia a la multiplicación.
De forma más precisa, las Matemáticas han descrito al Factor común como una ley inversa a la Propiedad distributiva, y que dicta específicamente que siempre que un elemento se encuentre multiplicando la suma de dos o más elementos, el resultado será exactamente igual, al ser entonces este primer elemento el factor común, a la suma de los productos de cada elemento por este factor común. Esta regla matemática podrá expresarse de la siguiente manera:
c . (a + b) = c.a + c.b
Productos notables
Por otro lado, también será necesario abordar una explicación sobre los Productos notables, los cuales han sido descritos entonces como un conjunto de leyes matemáticas, que tienen como norte la Factorización de polinomios, es decir, el proceso mediante el cual se consigue expresar un polinomio como un producto.
Así mismo, la disciplina matemática ha señalado que los Productos notables tienen como propósito realizar multiplicaciones de polinomios de forma directa y práctica, sin necesidad de tener que desarrollar cada uno de los elementos, lo cual origina como beneficio un ahorro de tiempo considerable al realizar este tipo de operaciones, así como la reducción de errores, al realizarla.
Producto de tres binomios con un factor común
Finalmente, se deberá revisar igualmente la definición de Producto de tres binomios con un factor común, el cual será explicado entonces como uno de los principales productos notables, que se pueden encontrar en cuanto a la factorización de polinomios.
Desde una perspectiva mucho más precisa, esta ley matemática señala que siempre que se esté ante la multiplicación de tres monomios, en los que pueda distinguirse un factor común en todos, entonces el producto de esta operación será equivalente al cubo de factor común, más el producto de la suma de los elementos no iguales por el factor común al cuadrado, más la suma del producto del factor común por la suma de los elementos no comunes, más el producto de estos elementos no comunes. Esta ley puede ser expresada matemáticamente de la siguiente manera:
(x+a) . (x+b) . (x+c) = x3 + (a+b+c) . x2 + (a+b+c) . x + abc
Ejemplos de Producto de tres binomios con un factor común
Toda vez se han revisado cada una de estas explicaciones puede que ciertamente sea mucho más sencillo exponer algunos casos, que permitan de forma concreta cómo se debe proceder cada vez que se necesite determinar el Producto de tres binomios con un factor común. A continuación, los siguientes ejercicios:
Ejemplo 1
Multiplicar las siguientes expresiones algebraicas:
(x + 1) . (x + 2) . (x + 4) =
Al tener que resolver esta multiplicación, el primer paso debe ser el evaluar los términos que se encuentran involucrados. Una vez se hace esta aproximación, se encuentra entonces que se trata de la multiplicación de tres binomios, en los que además existe un factor común, materializado por el elemento x.
Por lo tanto, procede en este caso la aplicación del producto notable, Producto de tres binomios con un factor común, el cual dicta que siempre que se deba resolver este tipo de casos, entonces el producto será igual al cubo del factor común, más el producto de la suma de los elementos diversos por el factor común al cuadrado, más el producto de la suma de los elementos no iguales por el factor común, más el producto de los elementos no comunes. En consecuencia, se procede de la siguiente forma:
(x + 1) . (x + 2) . (x + 4) = x3 + (1 + 2 + 4) . x2 + (1 + 2 + 4) . x + (1 . 2 . 4)
x3 + (1 + 2 + 4) . x2 + (1 + 2 + 4) . x + (1 . 2 . 4) = x3 + 7x2 + 7x + 8
Finalmente, se expresa el resultado o producto obtenido:
(x + 1) . (x + 2) . (x + 4) = x3 + 7x2 + 7x + 8
Ejemplo 2
Resolver la siguiente multiplicación de binomios:
(x + 3) . (x – 1) . (x – 3) =
En este caso, también se deberá aplicar el producto notable de Producto de tres binomios con factor común. No obstante, en este ejercicio también se encuentra que los elementos tienen signos distinto, por lo que debe tomarse en cuenta la ley de signos:
(x + 3) . (x – 1) . (x – 3) =
x3 + [3 + (-1) + (-3) . x2 + [3 + (-1) + (-3) . x + [(3) . (-1) . (-3) =
x3 + [3 – 1 – 3 . x2 + [3 – 1- 3 . x + [(3) . (-1) . (-3) =
x3 + [3 – 4 . x2 + [ 3 – 4 . x + [ (3) . (3) =
x3 + [-1 . x2 + [-1 . x + 9 =
x3 – 1x2 – 1x + 9 =
Como en los términos algebraicos cuando el coeficiente es igual a la unidad, simplemente no se escribe y se da por sobreentendido, entonces se debe tomar este resultado, y expresarse de la siguiente forma:
(x + 3) . (x – 1) . (x – 3) = x3 – x2 – x + 9
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