Antes de exponer algunos ejemplos sobre la forma correcta en que deben resolverse los productos de binomios conjugados, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender estos procedimientos dentro de su justo contexto matemático.
Definiciones fundamentales
En este sentido, se tomará también la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres definiciones: Binomios, Productos notables y Producto de binomios conjugados, por encontrarse directamente relacionados con los ejercicios que se estudiarán posteriormente. A continuación, las siguientes definiciones:
Binomios
En primer lugar, se comenzará por decir que las Matemáticas han definido los Binomios como la operación de suma o resta, que ocurre entre dos monomios, es decir, entre dos términos algebraicos, que se encuentran constituidos por un elemento numérico y un elemento literal, entre los que sólo puede ocurrir una operación de multiplicación. Un ejemplo de Binomio puede ser el que se muestra seguidamente:
3x2 + 2y =
Productos notables
Por otro lado, las Matemáticas señalan que los Productos notables pueden ser comprendidos como un conjunto de reglas matemáticas, orientadas a la factorización, es decir, al procedimiento por medio del cual se toma un polinomio, y se expresa como un producto.
De forma mucho más específica, los Productos notables son un conjunto de propiedades matemáticas, que permiten que se realice la multiplicación entre monomios y polinomios de forma directa, sin necesidad de hacerlo término por término, lo cual a la larga, además de significar un ahorro de tiempo, evita que se cometan ciertos errores.
Productos de binomios conjugados
Finalmente, también deberá tomarse un momento para pasar revista sobre el concepto de Producto de binomios conjugados, los cuales han sido explicados a su vez como aquellos binomios en donde los elementos coinciden por completo, diferenciándose tan solo por un signo.
En cuanto al producto que puede ocurrir entre este tipo de polinomios, las Matemáticas señalan que siempre que se multipliquen dos binomios conjugados, entonces el producto será igual a la diferencia del cuadrado de sus términos. Esta regla matemática puede representarse de la siguiente forma:
(a + b) . (a – b)=
(a)2 + (-ab) + (ab) + (-b)2 =
a2 – b2
Ejemplo de productos de binomios conjugados
Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre la forma correcta en que debe calcularse el producto cuando los multiplicandos están constituidos por binomios conjugados. A continuación, los siguientes ejercicios:
Ejemplo 1
Multiplicar los siguientes binomios:
(2x + 3y) . (2x – 3y) =
Lo primero que debe hacerse es revisar la naturaleza de los binomios, pues esto permitirá decidir cuál de los productos notables deben ponerse en práctica. Al hacerlo, se revisarán sus elementos, descubriendo entonces que se trata de binomios conjugados, en tanto coinciden completamente en sus términos, a excepción del signo. Por ende, se aplica el producto pertinente:
(2x + 3y) . (2x – 3y) =
Y se resuelve obteniendo un producto conformado por el cuadrado del primer término, más el producto del primer término del primer binomio por el segundo término del segundo binomio, más el producto del segundo término por el primer término del segundo binomio, más el cuadrado del segundo término
(2x + 3y) . (2x – 3y) =
4x2 + (-2x . 3y) + (3y . 2x) + -9b2 =
4x2 + (-6xy) + (6xy) – 9y2 =
Al obtener este producto, todavía se puede simplificar más, puesto que el segundo y el tercer término se anulan entre sí, puesto que si se suman dan como resultado cero:
4x2 + (-6xy) + (6xy) – 9y2 =
4x2 – 9y2
Tal como señala el Producto notable que se aplica en estos casos, todo producto entre binomios conjugados resulta igual a la diferencia entre los cuadrados de los términos:
(2x + 3y) . (2x – 3y) = 4x2 – 9y2
Ejemplo 2
Multiplicar los siguientes binomios:
(2x + 2y) . (2x – 2y) =
Lo primero que debe hacerse en este caso es revisar la naturaleza de los elementos algebraicos que se encuentran multiplicándose. Al hacerlo, se tendrá que se trata entonces de binomios conjugados, por lo que para resolver esta operación se deberá aplicar el Producto notable para la multiplicación de binomios conjugados.
Por ende, se determinará el cuadrado del primer elemento, más el producto del primer término del primero monomio por el segundo término del segundo binomio, más el producto del segundo término del primer monomio por el primer término del segundo binomio, más el cuadrado del segundo término:
(2x + 2y) . (2x – 2y) = 4x2 + 4xy – 4xy – 4y2
4x2 + 4xy – 4xy – 4y2 = 4x2 – 4y2
Al resolver esta operación, se obtiene como producto, tal como señala el Producto notable aplicado, una diferencia de los cuadrados de ambos términos.
Ejemplo 3
Multiplicar los siguientes binomios:
(3x + y) . (3x – y) =
Al revisar los elementos entre los que se sostiene la multiplicación se encuentra que es una multiplicación o producto de binomios conjugados. Sabiendo entonces cuál es el Producto notable a realizar, se procede a aplicar la ley matemática. Sin embargo, no es necesario realizar la operación término por término, sino que se puede ir directo a la resolución, considerando que el producto será siempre la diferencia entre los cuadrados de los términos:
(3x + y) . (3x – y) = 9x2 – y2
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