Intersección de conjuntos

En este sentido, quizás sea lo más pertinente comenzar por la propia definición de la operación en donde se cumple esta propiedad. Al respecto, el Álgebra de conjuntos ha señalado que la Intersección de conjuntos puede ser entendida como una operación básica, en donde dos o más conjuntos establecen intersecciones entre sí, consiguiendo formar un conjunto en donde pueden contarse como elementos, aquellos comunes a todos los conjuntos que han participado de la operación. Así mismo, las distintas fuentes teóricas optan por señalar la siguiente forma para la expresión de esta operación del Álgebra de Conjuntos:

A∩B=

Propiedad Asociativa (Intersección de conjuntos)

Por otro lado, también surge como necesario detenerse un momento en la definición de Propiedad asociativa en la operación de Intersección, la cual es entendida por las distintas fuentes teóricas como aquella propiedad matemática que dicta expresamente que durante la operación de Intersección de conjuntos en realidad no importa el orden en el que se sucedan las distintas asociaciones que puedan realizarse entre los conjuntos que participan de la operación, pues en realidad siempre se conseguirá el mismo resultado. En cuanto a la forma de plantear matemáticamente esta propiedad, se encuentra la siguiente:

(A∩B)∩C = A ∩ (B∩C)

Ejemplos Propiedad Asociativa (Intersección de conjuntos)

Vistas estas definiciones, será mucho más sencillo abordar entonces los distintos casos que pueden servir de ejemplo a la forma en la que se cumple la Propiedad Asociativa en la Intersección de conjuntos. A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, en donde puedan contarse como elementos colores cálidos: A= {Rojo, Rojo-Amarillo, Amarillo, Naranja, Rojo-Naranja, Marrón}; un conjunto B, conformado por colores cuyo nombres comiencen por la letra “r”: B= {Rojo, Rosado, Rojo-Amarillo, Rojo-Naranja, Rubio, Rubí} y un tercer conjunto C, constituido por nombres de colores en general: C= {Azul, Turquesa, Rojo, Rubio, Rojo-Amarillo, Violeta, Anaranjado, Marrón, Verde, Gris, Negro} establecer una operación de Intersección de conjuntos, en donde pueda verse además diferentes formas de asociación entre los conjuntos, las cuales permitan demostrar la Propiedad asociativa en esta operación:

Para cumplir con lo solicitado en este ejercicio, será necesario entonces establecer y resolver la operación de Intersección de conjuntos, desde –ya que se trata de tres conjuntos- dos posibles formas de asociación:

Primera forma de asociación: (A∩B)∩C

A= {Rojo, Rojo-Amarillo, Amarillo, Naranja, Rojo-Naranja, Marrón}
B= {Rojo, Rosado, Rojo-Amarillo, Rojo-Naranja, Rubio, Rubí}
C= {Azul, Turquesa, Rojo, Rubio, Rojo-Amarillo, Violeta, Anaranjado, Marrón, Verde, Gris, Negro}

(A∩B)∩C=

A∩B = {Rojo, Rojo-Amarillo, Amarillo, Naranja, Rojo-Naranja, Marrón} ∩ {Rojo, Rosado, Rojo-Amarillo, Rojo-Naranja, Rubio, Rubí}
A∩B = {Rojo, Rojo-Amarillo, Rojo-Naranja}

(A∩B)∩C= {Rojo, Rojo-Amarillo, Rojo-Naranja} ∩ {Azul, Turquesa, Rojo, Rubio, Rojo-Amarillo, Violeta, Anaranjado, Marrón, Verde, Gris, Negro}

(A∩B)∩C= {Rojo, Rojo-Amarillo}

Segunda forma de asociación: A∩(B∩C)

A= {Rojo, Rojo-Amarillo, Amarillo, Naranja, Rojo-Naranja, Marrón}
B= {Rojo, Rosado, Rojo-Amarillo, Rojo-Naranja, Rubio, Rubí}
C= {Azul, Turquesa, Rojo, Rubio, Rojo-Amarillo, Violeta, Anaranjado, Marrón, Verde, Gris, Negro

A∩(B∩C)

B∩C= {Rojo, Rosado, Rojo-Amarillo, Rojo-Naranja, Rubio, Rubí} ∩ {Azul, Turquesa, Rojo, Rubio, Rojo-Amarillo, Violeta, Anaranjado, Marrón, Verde, Gris, Negro}

B∩C= {Rojo, Rojo-Amarillo, Rubio}

A∩(B∩C)= {Rojo, Rojo-Amarillo, Amarillo, Naranja, Rojo-Naranja, Marrón} ∩ {Rojo, Rojo-Amarillo, Rubio}

A∩(B∩C)= {Rojo, Rojo-Amarillo}

Al resolver esta operación de Intersección de conjuntos, desde las dos posibles asociaciones que podían ocurrir en base a sus conjuntos, se pudo determinar que el orden en el que se dieron dichas asociaciones no modificó en nada el conjunto resultante, por lo que ha podido comprobarse la Propiedad Asociativa en la Intersección de conjuntos, la cual en este caso puede ser expresada matemáticamente de la siguiente forma: (A∩B)∩C = A ∩ (B∩C)

Ejemplo 2

Dado un conjunto A, en el cual puedan incluirse animales cuyos nombres comiencen por la letra “g”: A={Gacela, Gato, Ganso, Garza, Guepardo, Golondrina, Gallina, Glotón, Grulla}; un conjunto B, conformado por animales mamíferos: B= {Perro, Gato, Gacela, Vaca, Elefante, Guepardo, Rinoceronte, Cebra}; un conjunto C, constituido por nombres de animales que terminan en la letra “a”:  C= {Gacela, Garza, Gallina, Golondrina, Ballena, Vaca, Foca, Grulla} y un conjunto D, que tenga como elementos nombres de animales en general: D={Gacela, Gallina, Foca, Hipopótamo, Cebra, Antílope, Golondrina, Garza, Grulla, Perro, Gato, Vaca, Elefante, Gacela, Grulla, Ballena} comprobar cómo se cumple la Propiedad Asociativa, en cuanto a la operación de Intersección de conjuntos:

En este caso, en lugar de simplemente tres conjuntos, se cuenta con cuatro de ellos, por lo que resolver una operación de Intersección puede ocurrir a través de tres distintos tipos de asociación, las cuales a su vez se ejecutarán a fin de comprobar cómo se cumple la Propiedad asociativa:

Primera forma de asociación: (A∩B)∩C∩D

A= {Gacela, Gato, Ganso, Garza, Guepardo, Golondrina, Gallina, Glotón, Grulla}
B= {Perro, Gato, Gacela, Vaca, Elefante, Guepardo, Rinoceronte, Cebra}
C= {Gacela, Garza, Gallina, Golondrina, Ballena, Vaca, Foca, Grulla}
D= {Gacela, Gallina, Foca, Hipopótamo, Cebra, Antílope, Golondrina, Garza, Grulla, Perro, Gato, Vaca, Elefante, Gacela, Grulla, Ballena}

(A∩B)∩C∩D=

A∩B= {Gacela, Gato, Ganso, Garza, Guepardo, Golondrina, Gallina, Glotón, Grulla} ∩ {Perro, Gato, Gacela, Vaca, Elefante, Guepardo, Rinoceronte, Cebra}
A∩B= {Gacela, Gato, Guepardo}

(A∩B)∩C= {Gacela, Gato, Guepardo} ∩ {Gacela, Garza, Gallina, Golondrina, Ballena, Vaca, Foca, Grulla}
(A∩B)∩C= {Gacela}

(A∩B)∩C∩D= {Gacela} ∩ {Gacela, Garza, Gallina, Golondrina, Ballena, Vaca, Foca, Grulla}
(A∩B)∩C∩D= {Gacela}

Segunda forma de asociación: A∩(B∩C)∩D

B∩C= {Perro, Gato, Gacela, Vaca, Elefante, Guepardo, Rinoceronte, Cebra} ∩ {Gacela, Garza, Gallina, Golondrina, Ballena, Vaca, Foca, Grulla}
B∩C= {Gacela, Vaca}

A∩(B∩C)= {Gacela, Gato, Ganso, Garza, Guepardo, Golondrina, Gallina, Glotón, Grulla} ∩ {Gacela, Vaca}

A∩(B∩C)= {Gacela}

A ∩(B∩C)∩D= {Gacela} ∩ {Gacela, Gallina, Foca, Hipopótamo, Cebra, Antílope, Golondrina, Garza, Grulla, Perro, Gato, Vaca, Elefante, Gacela, Grulla, Ballena}

A ∩(B∩C)∩D= {Gacela}

Tercera forma de asociación: A∩B∩(C∩D)

A= {Gacela, Gato, Ganso, Garza, Guepardo, Golondrina, Gallina, Glotón, Grulla}
B= {Perro, Gato, Gacela, Vaca, Elefante, Guepardo, Rinoceronte, Cebra}
C= {Gacela, Garza, Gallina, Golondrina, Ballena, Vaca, Foca, Grulla}
D= {Gacela, Gallina, Foca, Hipopótamo, Cebra, Antílope, Golondrina, Garza, Grulla, Perro, Gato, Vaca, Elefante, Gacela, Grulla, Ballena}

C∩D= {Gacela, Garza, Gallina, Golondrina, Ballena, Vaca, Foca, Grulla} ∩ {Gacela, Gallina, Foca, Hipopótamo, Cebra, Antílope, Golondrina, Garza, Grulla, Perro, Gato, Vaca, Elefante, Gacela, Grulla, Ballena}

C∩D= {Gacela, Garza, Gallina, Golondrina, Ballena, Vaca, Grulla}

B∩(C∩D)= {Perro, Gato, Gacela, Vaca, Elefante, Guepardo, Rinoceronte, Cebra} ∩ {Gacela, Garza, Gallina, Golondrina, Ballena, Vaca, Grulla}

B∩(C∩D)= {Gacela, Vaca}

A∩B∩(C∩D)=  {Gacela, Gato, Ganso, Garza, Guepardo, Golondrina, Gallina, Glotón, Grulla} ∩ {Gacela, Vaca}

A∩B∩(C∩D)=  {Gacela}

Al realizar la operación de Intersección de conjuntos, a través de los distintos tipos de asociación que puede establecerse entre los conjuntos que participan en la operación, se puede ver cómo se obtiene el mismo resultado, independientemente de las distintas asociaciones que se han establecido, por lo que queda comprobada la Propiedad Asociativa en la Intersección de conjuntos, para esta caso, en donde además se puede contar con la siguiente expresión matemática:

(A∩B)∩C∩D = A∩(B∩C)∩D = A∩B∩(C∩D)

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