Propiedad asociativa en la Intersección de conjuntos

Definiciones fundamentales

En este sentido, quizás lo mejor sea entonces comenzar por el concepto de Conjunto, lo cual permitirá comprender la naturaleza del objeto en base al cual se realiza la operación de la Intersección, de la cual esta propiedad resulta inherente. Así mismo, será necesario pasar revista sobre esta operación del Álgebra de conjuntos, a fin de entender las operaciones e implicaciones de esta propiedad. A continuación, los conceptos.

Conjuntos

Por consiguiente, la primera definición a la que se hará referencia será a la del Conjunto, el cual es visto por las Matemáticas como una colección abstracta, definida y conformada –de manera única y exclusiva- por un listado de elementos, que pueden ser considerados como propios de la misma naturaleza, debido a que comparten un rasgo en común. Así mismo, la notación de este tipo de objetos matemáticos se llevará a cabo bajo algunos parámetros establecidos, como por ejemplo aquel que indica que el nombre de cada conjunto deberá corresponder al nombre de una letra mayúscula, mientras que sus elementos deben presentarse en forma de lista, separados por una coma y contenidos entre un par de signos de llaves {}.

Intersección de conjuntos

Igualmente, es necesario detenerse en la definición de Intersección de conjuntos, la cual ha sido explicada por el Álgebra de Conjuntos como una operación básica, en la cual dos o más conjuntos establecen una operación de intersección, constituyendo un nuevo conjunto, conformado por aquellos elementos que pueden encontrarse en cada uno de los conjuntos sobre los cuales se ha hecho la operación. Esto quiere decir, que al tener dos o más conjuntos, y someterlos a una operación de Intersección, el resultado será un conjunto en donde sólo puedan leerse los elementos que pueden encontrarse originalmente en los conjuntos que le han servido de origen. La expresión matemática de esta operación responde a la siguiente forma:

A ∩ B=

Propiedad asociativa en la Intersección

Con estas definiciones presentas, será mucho más sencillo aproximarse a la explicación de la Propiedad asociativa en la Intersección de conjuntos, propiedad matemática que reza esencialmente que en el caso de que la intersección se plantee entre tres o más conjuntos, no importará el orden en el que se vayan dando las distintas asociaciones que puedan tener lugar en la operación, pues esto no alterará para nada el conjunto final. Así mismo, las distintas fuentes matemáticas señalan que esta propiedad puede ser también expresada matemáticamente de la manera siguiente:

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Ejemplo de propiedad asociativa en Intersección de conjuntos

No obstante, quizás la forma más eficiente para terminar de explicar de forma cabal en qué consiste esta propiedad inherente a la Intersección de conjuntos sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, que pueda ayudar a demostrar en la práctica lo que dicta la teoría sobre esta propiedad matemática. A continuación, el caso:

Dado un conjunto A, en donde puedan contarse animales en general:  A = {Águila, Perro, Hipopótamo, Vaca, Pantera, Paloma, Avestruz, Puma, Elefante}; un conjunto B, constituido por animales cuyo nombre comienza por la letra “p”: B= {Perro, Paloma, Pulpo, Puma, Puercoespín, Pingüino, Perezoso, Pantera}; y un tercer conjunto C, conformado por animales cuadrúpedos: C= {Rinoceronte, Perro, Gato, Puma, Pantera, Vaca, Cebra, Alce, Paloma, Pantera} establecer una operación de Intersección entre estos conjuntos, a fin de comprobar si en ella tiene lugar la Propiedad asociativa:

Para dar cumplimiento a lo solicitado en este postulado, será necesario entonces, teniendo en cuenta que se trata de tres conjuntos, realizar la operación de Intersección, siguiendo para ello las dos posibles formas de asociación, que tienen lugar en este caso:

Primera forma de asociación: (A∩B)∩C

A = {Águila, Perro, Hipopótamo, Vaca, Pantera, Paloma, Avestruz, Puma, Elefante}
B= {Perro, Paloma, Pulpo, Puma, Puercoespín, Pingüino, Perezoso, Pantera}
C= {Rinoceronte, Perro, Gato, Puma, Pantera, Vaca, Cebra, Alce, Paloma, Pantera}

(A∩B)∩C=

A∩B= {Águila, Perro, Hipopótamo, Vaca, Pantera, Paloma, Avestruz, Puma, Elefante} ∩ {Perro, Paloma, Pulpo, Puma, Puercoespín, Pingüino, Perezoso, Pantera}
A∩B= {Perro, Paloma, Paloma, Puma, Pantera}

(A∩B)∩C= {Perro, Paloma, Puma, Pantera} ∩ C= {Rinoceronte, Perro, Gato, Puma, Pantera, Vaca, Cebra, Alce, Paloma, Pantera}

(A∩B)∩C= {Perro, Paloma, Puma, Pantera}

Segunda forma de asociación: A ∩ (B∩C)=

A = {Águila, Perro, Hipopótamo, Vaca, Pantera, Paloma, Avestruz, Puma, Elefante}
B= {Perro, Paloma, Pulpo, Puma, Puercoespín, Pingüino, Perezoso, Pantera}
C= {Rinoceronte, Perro, Gato, Puma, Pantera, Vaca, Cebra, Alce, Paloma, Pantera}

A ∩ (B∩C)=

B∩C= {Perro, Paloma, Pulpo, Puma, Puercoespín, Pingüino, Perezoso, Pantera} ∩ {Rinoceronte, Perro, Gato, Puma, Pantera, Vaca, Cebra, Alce, Paloma, Pantera}

B∩C= {Perro, Paloma, Puma, Pantera}

A ∩ (B∩C)= {Águila, Perro, Hipopótamo, Vaca, Pantera, Paloma, Avestruz, Puma, Elefante} ∩ {Perro, Paloma, Puma, Pantera}

A ∩ (B∩C)= {Perro, Pantera, Paloma, Puma}

Al hacer esto, se puede ver cómo independientemente del orden de las asociaciones que tengan lugar en el desarrollo de la Intersección de conjuntos, siempre se llegará al mismo resultado, es decir, al mismo conjunto, conformado por los mismos elementos, aunque pueda variar el orden en el que son presentados. En este sentido, queda comprobada entonces la Propiedad Asociativa en el caso de la Intersección de conjuntos, por ende:

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

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