Ejemplos de la Propiedad conmutativa en el Álgebra de conjuntos

Definiciones fundamentales

Sin embargo, antes de avanzar sobre aquellos casos que pueden servir de ejemplo a este tipo de propiedad matemática, inherente a la Intersección de conjuntos, quizás sea conveniente revisar algunas definiciones básicas, que permitirán entenderla en su contexto adecuado. A continuación, los conceptos:

Conjunto

Por consiguiente, puede resultar pertinente revisar la definición de Conjunto, el cual ha sido concebido por la Matemática como un objeto, constituido en base a una serie de elementos, entre los que puede distinguirse un rasgo común, el cual les permite conformar esta colección abstracta. De esta manera, los elementos del conjunto cumplen por su parte con la función de definir y formar a este objeto, de una forma única y exclusiva. Así también, esta disciplina señala que el conjunto debe recibir el nombre de una letra mayúscula, así como presentar los elementos que lo conforman como un listado, separado por comas y contenido entre llaves {}.

Intersección de Conjuntos

Por otro lado, también es necesario llamar la atención sobre la definición de Intersección de conjuntos, la cual es entendida por el Álgebra de Conjuntos como una operación básica, en donde entre dos conjuntos tiene lugar una intersección, creando un conjunto, en donde se pueden contar como elementos aquellos que resultan comunes a las colecciones que han participado en la operación. En otros términos, una operación de Intersección será aquella que se lleve a cabo, a fin de identificar los elementos que pueden encontrarse en cada uno de los conjuntos, para así construir un nuevo conjunto con ellos. Esta operación puede ser planteada matemáticamente de la siguiente manera:

A∩B=

Propiedad Conmutativa en la Intersección de conjuntos

Finalmente, otra de las definiciones fundamentales que deben ser revisadas es la de la Propiedad Conmutativa en la Intersección de conjuntos, la cual a su vez ha sido explicada como una propiedad matemática que dicta que no importa el orden en el que se presenten los conjuntos que participan de la Intersección, puesto que el conjunto que dé esta operación como resultado, independientemente del orden que pueda verse en sus elementos, siempre será el mismo, pues estará conformado por los mismos elementos. Con respecto a la expresión matemática de esta operación, se puede encontrar la forma que se señala seguidamente:

A∩B = B∩A

Ejemplos Propiedad Conmutativa en la Intersección

Con estas definiciones en claro, será mucho más sencillo aproximarse a los distintos casos que pueden ser usados para ejemplificar cómo se cumple en la práctica lo que las fuentes teóricas señalan sobre la Propiedad Conmutativa que tiene lugar en la Intersección de conjuntos. A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, conformado por bandas de rock en Español: A= {Los Rodríguez, Soda Stereo, El Gran Silencio, Aterciopelados, No te va a Gustar, Sui Generis} y un conjunto B, constituido por bandas de rock argentinas: B= {Los Rodríguez, Soda Stereo, Sui Generis} comprobar si realmente se cumple la Propiedad Conmutativa en la operación de Intersección de conjuntos.

A fin de darle respuesta a la solicitud hecha en este postulado, será necesario entonces realizar la operación de Intersección de conjuntos en diferentes órdenes:

Primer orden:

A= {Los Rodríguez, Soda Stereo, El Gran Silencio, Aterciopelados, No te va a Gustar, Sui Generis}
B= {Los Rodríguez, Soda Stereo, Sui Generis, Redonditos de ricota, los Piojos, Rata Blanca}

A ∩ B=

 A ∩ B= {Los Rodríguez, Soda Stereo, El Gran Silencio, Aterciopelados, No te va a Gustar, Sui Generis} ∩ {Los Rodríguez, Soda Stereo, Sui Generis, Redonditos de ricota, los Piojos, Rata Blanca}

A ∩ B= {Los Rodríguez, Soda Stereo, Sui Generis}

Segundo orden:

A= {Los Rodríguez, Soda Stereo, El Gran Silencio, Aterciopelados, No te va a Gustar, Sui Generis}
B= {Los Rodríguez, Soda Stereo, Sui Generis, Redonditos de ricota, los Piojos, Rata Blanca}

B ∩ A=

B ∩ A= {Los Rodríguez, Soda Stereo, Sui Generis, Redonditos de ricota, los Piojos, Rata Blanca} ∩ {Los Rodríguez, Soda Stereo, El Gran Silencio, Aterciopelados, No te va a Gustar, Sui Generis}

B ∩ A= {Los Rodríguez, Soda Stereo, Sui Generis}

Al hacerlo, se puede comprobar que efectivamente, independientemente del orden en que sean presentados los conjuntos a la operación de Intersección de conjuntos, se obtiene el mismo conjunto, por ende:  A∩B = B∩A

Ejemplo 2

Dado un conjunto B, constituido por colores cálidos: B= {Rojo, Naranja, Amarillo, Rojo-Naranja, Marrón} y un conjunto C, en donde puedan contarse como elementos colores en general: C= {Morado, Rojo, Azul, Rosado, Naranja, Marrón, Gris, Turquesa} establecer una Intersección entre ellos, y comprobar si en realidad en esta operación puede hablarse de la Propiedad Conmutativa.

Igualmente, en este caso, será necesario llevar a cabo la operación de Intersección entre este conjunto, de acuerdo a dos órdenes distintas:

Primer orden:

B= {Rojo, Naranja, Amarillo, Rojo-Naranja, Marrón}
C= {Morado, Rojo, Azul, Rosado, Naranja, Marrón, Gris, Turquesa}

B∩C=
B∩C= {Rojo, Naranja, Amarillo, Rojo-Naranja, Marrón} ∩ {Morado, Rojo, Azul, Rosado, Naranja, Marrón, Gris, Turquesa}

B∩C= {Rojo, Naranja, Marrón}

Segundo orden:

B= {Rojo, Naranja, Amarillo, Rojo-Naranja, Marrón}
C= {Morado, Rojo, Azul, Rosado, Naranja, Marrón, Gris, Turquesa}

C ∩ B=

C ∩ B= {Morado, Rojo, Azul, Rosado, Naranja, Marrón, Gris, Turquesa} ∩ {Rojo, Naranja, Amarillo, Rojo-Naranja, Marrón}

C ∩ B= {Rojo, Naranja, Marrón}

Al realizar esta operación invirtiendo el orden de los conjuntos que participan de ella, se ha podido comprobar cómo esto no ha afectado los conjuntos obtenidos de cada operación, y que en ambos casos, se pueden considerar como resultado de la Intersección de conjuntos. Por ende, se puede concluir que en efecto la Propiedad Conmutativa en esta operación ha sido comprobada:

B∩C = C ∩ B

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