Ejemplos de resolución de ecuaciones del tipo ax + b = cx + d

Lo primero que se hará, de forma anterior a revisar algunos ejemplos sobre el procedimiento adecuado para dar solución a las ecuaciones de primer grado, de forma ax + b = cx + d, será revisar algunas definiciones, que de seguro permitirá entender estos casos en su justo contexto matemático.

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, también se optará por delimitar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Igualdades, Ecuaciones, Ecuaciones de primer grado y Resolución de ecuaciones del tipo ax + b = cx + d, por encontrarse relacionadas directamente con los ejercicios que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Las igualdades

De esta manera, se comenzará por revisar el concepto de Igualdades, las cuales han sido explicadas como la relación matemática, que se establece entre dos elementos que en cuanto a su valor resultan iguales. Por otro lado, las distintas fuentes han señalado que el signo matemático para expresar este tipo de relaciones es el signo de igual (=).

Por otro lado, las igualdades se encontrarán conformadas por dos términos, los cuales han sido explicados de la siguiente manera:

Primer término: constituidos por los elementos que se encuentran ubicados de manera anterior al signo igual (=).
Segundo término: conformados por los elementos o términos, que se disponen después del signo que sirve para expresar la relación de igualdad.

Así mismo, las Matemáticas conciben dos distintos tipos de igualdades:

Igualdades numerales: este tipo de igualdades se encontrarán siempre conformadas por elementos abstractos numerales.
Igualdades literales: por otro lado, las igualdades literales serán aquellas que se constituyen tanto por elementos numéricos y elementos literales.

Ecuaciones

En segunda instante, también se revisará el concepto de Ecuaciones, las cuales se han definido como las igualdades literales, en donde ocurre que la incógnita tiene la posibilidad de asumir tan solo un valor, para que así se pueda cumplir la relación expresada. Por otro lado, si en la igualdad literal, el literal pudiese asumir cualquier valor, y aún así seguir funcionando, entonces se considera que es una igualdad.

Ecuaciones de primer grado

También, se tomará un momento para revisar la definición de Ecuaciones de primer grado, expresiones o igualdades literales, en donde la incógnita o el elemento literal se encuentra elevada al exponente igual a la unidad. En caso de que este tipo de expresiones cuenten con varios elementos literales, que se encuentran elevados a la unidad.

Así también, por tradición, cuando un elemento –bien sea numérico o literal- se encuentra elevado a la unidad, entonces se opta por no anotarlo de forma explícita, asumiéndose entonces como sobre entendido.

Resolución de Ecuaciones del tipo ax + b = cx + d

Finalmente, será también necesario tomar un momento para tener en cuenta cada uno de los pasos que deben cumplirse en la tarea de resolver todo tipo de ecuación de primer grado, que responda a la forma ax + b = cx + d, los cuales han sido descritos de la siguiente forma:

1.- Se buscará pasar todos los términos que contengan los elementos literales hacia el primer término, como se trata de trasponer estos elementos, pasarán del segundo término al primero cambiando su signo.

ax + b = cx + d → ax – cx + b = d

2.- Una vez que todos los elementos que acompañan a la incógnita se encuentran en el primer término, entonces se busca aislar la x. Para esto se reducen los términos semejantes:

ax – cx + b = d → (a – c)x + b = d

3.- Seguidamente, y teniendo como objetivo terminar de aislar la x en el primer término, se trasponen todos los elementos distintos al segundo término:

4.- Se resuelve la operación que se ha conformado, obteniendo el valor definitivo de x.

5.- Se comprueba la ecuación.

Ejemplos de cómo resolver ecuaciones del tipo ax + b = cx + d

No obstante, la manera más eficiente de concluir una explicación sobre este procedimiento matemático será la exposición de algunos ejemplos, que permitan ver de forma práctica cómo deben aplicarse cada uno de los pasos que marca la teoría. A continuación, algunos ejercicios:

Ejemplo 1

Resolver la siguiente ecuación

8x + 2 = 2x + 14

Se pasarán entonces los literales hacia el primer término, trasponiendo entonces los elementos:

8x – 2x + 2 = 14

Acto seguido, se reducirán los elementos semejantes, en este caso, los elementos literales:

(8– 2)x + 2 = 14

Así mismo, se continuará con la misión de aislar la x, por lo que entonces se traspondrán todos los elementos del primer término al segundo término:

Se ha despejado entonces el valor de x, elemento que resulta igual a 4. Se busca entonces comprobar el resultado, para esto se recurre a la igualdad literal original y se sustituye la x con el valor hallado:

8x + 2 = 2x + 14
8.2 + 2 = 2.2 + 14
16 + 2 = 4 + 14
18 = 18