Definiciones fundamentales

De esta manera, también resultará conveniente delimitar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Conjuntos, Correspondencia, Función y Cálculo de la imagen en una función, por encontrarse directamente relacionadas con el procedimiento matemático, que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Los conjuntos

En consecuencia, podrá comenzarse por decir que la disciplina matemática explica los Conjuntos como una especie de objeto matemático, constituido por una serie de elementos, que se caracterizan por pertenecer a la misma naturaleza. Por ende, los Conjuntos matemáticos pueden ser definidos como una colección abstracta de elementos homogéneos.

Por otro lado, las Matemáticas han señalado que los Conjuntos se caracterizan igualmente por poseer elementos que tienen la capacidad de determinar la colección de forma única y exclusiva. En cuanto a la manera en que los Conjuntos deben ser expresados, los distintos autores señalan que estos siempre deberán ser denominados por medio de una letra mayúscula, mientras que sus elementos deberán presentarse como una enumeración de elementos, separados por comas, e incluido en dos llaves: { }

Correspondencia

Así también, se hará necesario lanzar luces sobre el concepto de Correspondencia, el cual ha sido explicado por las distintas fuentes como un tipo de relación matemática, que puede surgir entre dos conjuntos siempre que, de acuerdo a un criterio específico, uno, algunos o todos los elementos de una de las colecciones encuentren correspondencia en uno, alguno o todos los elementos del segundo conjunto. Un ejemplo de este tipo de relación será el siguiente:

En este tipo de relaciones entre conjuntos podrán distinguirse igualmente tres distintos tipos de colecciones, las cuales han sido explicadas tal como se ve a continuación:

• Conjunto inicial: esta colección puede denominarse igualmente como Conjunto de partida, y es definida como el conjunto del cual parte la relación de correspondencia, así como las flechas que señalan esta relación. Con respecto a los elementos que hacen vida en este conjunto, las Matemáticas señalan que aquellos que hacen parte de la correspondencia recibirán el nombre de antiimagen, al tiempo que fungirán como primer elemento del par de correspondencia.
• Conjunto final: por otro lado, en las relaciones de este tipo, también existirá el Conjunto final, conocido también como el conjunto de llegada, por ser la colección en donde termina o desemboca la correspondencia, así como las flechas que la señalan. En cuanto a sus elementos, las Matemáticas han entendido que los elementos de este conjunto, que participan de la correspondencia, se conocen como elementos imagen, y se establecen como el segundo elemento del par de correspondencia.
• Grafo: así mismo, en las relaciones de este tipo entre conjuntos, el Grafo es entendido como la colección que se conforma en base a los distintos pares de correspondencia, que se crean entre los conjuntos vinculados.

Función

Otro de los conceptos que deberán revisarse es el de Función, la cual ha sido explicada entonces como la relación matemática de correspondencia, que existe entre dos conjuntos, toda vez que los elementos antiimagen, que se encuentran en el conjunto inicial, cuentan con solo una imagen, en el conjunto final. Un ejemplo de este tipo de relación será el siguiente:

En este tipo de correspondencia podrán distinguirse igualmente dos distintos tipos de variables, las cuales han sido explicadas de la siguiente forma:

• Variable independiente: este tipo de variable también será conocida con el nombre de variable x, y corresponde a algún elemento del conjunto inicial, por lo que se entiende que es una antiimagen. Su valor puede ser escogido aleatoriamente o por decisión, es decir, que no depende del valor de otro elemento.
• Variable dependiente: por su parte, esta variable se denomina y, estando su valor totalmente relacionado con el valor de x. Por ende, se asume que y es un elemento del conjunto de llegada, que sirve de imagen. La forma de calcular y es sometiendo el valor de x a la ecuación de la función, es decir, a la serie de operaciones que vienen declaradas por el criterio de relación por medio del cual se establece la Función.

Ejemplos sobre cómo calcula la imagen en la función

Una vez se han revisada estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo tomar un momento para aproximarse a algunos casos, que servirán de ejemplos concretos a la manera en que en una Función deberá determinarse las distintas imágenes, correspondientes a las distintas antiimágenes, siempre que no se conozcan, y a fin de completar la tablas de valores de las variables de esta relación.

Tal como indica la definición de Variable dependiente (y), esta se determinará siempre sometiendo el valor de x a la ecuación de la función. A continuación, el siguiente ejemplo:

Suponiendo que en una función existe una variable x= 4, y además se sabe que el criterio de correspondencia por medio del cual se ha establecido la Función es “el doble de”, se puede obtener la imagen de x sometiendo su valor a la ecuación correspondiente:

f(x) = y →  y = 2 . x → f(x) = 2 . y

f(4) = 2 . 4 = 8 → f(4) = 8

Al hacerlo, se determina entonces que la antiimagen sea 4, mientras que la imagen de esta variable x es 8.

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