Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que lo más recomendable sea también delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: la primera de ellas, el propio concepto de Números enteros, a fin de cobrar conciencia sobre la naturaleza de los elementos numéricos involucrados en los ejercicios. Así también será necesario revisar las definiciones de Multiplicación y Múltiplos de un número, por ser estas las operaciones directamente involucradas. A continuación, cada uno de ellos:

Los números enteros

De esta manera, se comenzará por decir entonces que los Números enteros pueden ser considerados como aquellos elementos por medio de los cuales las Matemáticas logran dar expresión escrita a las distintas cantidades exactas, o incluso a la ausencia o falta de ellas. Por igual, esta disciplina ha explicado que los números enteros podrán ser considerados como los elementos constituyentes del conjunto numérico Z, dentro del cual se pueden identificar tres distintos tipos de números enteros, los cuales han sido explicados a su vez de la siguiente manera:

• Números enteros positivos: en primer lugar, se contarán entonces los enteros positivos, los cuales son entendidos como aquellos elementos que también son constituyentes del conjunto de los números naturales. Por ende, la tarea de los enteros positivos será entonces la de expresar por escrito cantidades enteras específicas, así como contar los elementos de un conjunto, o incluso asignarles una posición, que permita ordenarlos. Estos números se ubicarán en la Recta numérica a la derecha del cero, lugar desde el cual se extenderán hacia el infinito. Cuentan con un número signo positivo, el cual en ocasiones se da por sobreentendido, por lo que no se anota.
• Números enteros negativos: por otra parte, dentro de los Números enteros, se distinguirán igualmente los enteros negativos, considerados inversos de los enteros positivos, de ahí que se ubiquen en la Recta numérica a la izquierda del cero, posición desde la cual se extienden hacia el infinito, en dirección opuesta a la que lo hacen los números positivos. Igualmente, cuentan con un signo negativo, el cual debe ser anotado en todo momento, a fin de distinguirlos de sus opuestos positivos. Los números enteros negativos cumplen con la tarea de expresar por escrito la ausencia o falta total de alguna cantidad exacta específica.
• Cero: finalmente, los Números enteros también contemplarán dentro de sus elementos al cero, el cual se ubicará en la mitad de la Recta numérica, sirviendo de límite y también de punto de partida tanto a números enteros positivos como enteros negativos. Sin embargo, este elemento no tiene ninguno de los dos signos, puesto que ni siquiera puede ser considerado un número, sino que es entendido por las Matemáticas como un símbolo por medio del cual se le da expresión escrita a la ausencia plena de cantidad.

Multiplicación

Por otro lado, resultará igualmente prudente detenerse un momento en la definición de Multiplicación que han dado de forma general las distintas fuentes, las cuales coinciden en señalar a esta operación como el procedimiento destinado a determinar cuál es el producto que se obtiene toda vez que se suma por sí mismo un determinado número, que hace las veces de Multiplicando, tantas veces como le indique un segundo número involucrado, que cumplirá con el papel de Multiplicador.

En consecuencia, los distintos autores han indicado que la Multiplicación puede ser vista también como una suma abreviada. Así también, algunas fuentes ven en la multiplicación una operación contraria a la División, procedimiento que por el contrario busca establecer cuántas veces se encuentra comprendido un número específico, que asume el ron de Divisor, dentro de un número específico, que fungirá como Dividendo. Por ende, toda vez que se quiera comprobar una División se deberá hacer uso de la operación de Multiplicación, así como cada vez que se quiera comprobar una Multiplicación se echará mano de la operación de División.

Múltiplos de números enteros

En tercer lugar, será también pertinente lanzar luces sobre el concepto de Múltiplos de números enteros, los cuales pueden ser comprendidos como los productos que se obtienen al multiplicar un número entero específico por todos los números enteros que existen, tanto si estos son positivos como negativos. Por ende, los múltiplos de un número entero serán tanto números enteros positivos como números enteros negativos.

De la misma forma, las Matemáticas han explicado que toda vez que se desee saber si un número específico es múltiplo de un número entero, se deberá realizar entre ellos entonces una división, dividiendo el múltiplo entre el número entero originario, operación que debe resultar exacta, arrojando como resultado un cociente exacto.

Ejercicios de múltiplos de números enteros

Una vez se han tenido en cuenta cada uno de estos conceptos puede que sea mucho más sencillo abordar algunos ejercicios en donde se planteen diferentes procedimientos en torno a determinar o identificar los múltiplos de un número entero. A continuación, algunos de ellos:

1.- Determinar los primeros diez múltiplos positivos de los siguientes números: 2, 4, 6

Al momento de cumplir con lo exigido en este ejercicio, se deberá tomar entonces cada uno de los números proporcionados, y  multiplicarlos por los primeros diez números enteros positivos.

Primero se hará con el 2:

2 x 1= 2
2 x 3 = 6
2 x 4= 8
2 x 5= 10
2 x6 = 12
2 x 7 = 14
2 x 8 = 16
2 x 9 = 18
2 x 10 = 20

Los múltiplos de 2 serán entonces: 2, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

Luego se seguirá con el número 4:

4 x 1= 4
4 x 2= 8
4 x 3 = 12
4 x 4 = 16
4 x 5= 20
4 x 6 = 24
4 x 7 = 28
4 x 8 = 32
4 x 9 = 36
4 x 40= 40

Por ende, los primeros diez múltiplos positivos de 4 serán los siguientes: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.

Finalmente, se determinarán los primeros diez múltiplos positivos de 6:

6 x 1= 6
6 x 2= 12
6 x 3= 18
6 x 4= 24
6 x 5= 30
6 x 6 = 36
6 x 7= 42
6 x 8= 48
6 x 9= 54
6 x 10= 60.

Entonces, se tendrá que los diez primeros múltiplos positivos del 6 son los siguientes: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60.

Ejercicio 2

Determinar cuáles son los cinco primeros múltiplos positivos y los cinco primeros múltiplos negativos del 3:

Para esto será necesario multiplicar entonces el 3 por los cinco primeros números enteros positivos:

3 x 1= 3
3 x 2= 6
3 x 3= 9
3 x 4= 12
3 x 5 = 15

Se hará exactamente igual con los enteros negativos:

3 x -1= -3
3 x -2= -6
3 x -3= -9
3 x -4= -12
3 x -5= -15

Por ende, los cinco primeros múltiplos positivos del 3 serán los siguientes: 3, 6, 9, 12, 15. Mientras que los cinco primeros múltiplos negativos del 3 serán los que se muestran a continuación: -3, -6, -9, – 12, -15.

Ejercicio 3

Determinar cuáles números son múltiplos y cuáles no del número 4:

-4
8
15
20
-35
-16
2

Al momento de realizar este ejercicio, será necesario entonces realizar una división de cada uno de los presuntos múltiplos entre el número 4. Si se consigue establecer una operación exacta, y un cociente igualmente exacto, se puede considerar entonces que el número es un múltiplo de 4. De lo contrario, no será así:

• Se comenzará entonces por dividir 4:-4 = -1. Más allá de los signos de los números involucrados, la división que se ha sostenido entre estos dos números arroja un cociente exacto, por lo que entonces se puede decir que -4 es en efecto un múltiplo de 4, resultante de multiplicar 4 x -1= -4.
• En el segundo caso, se deberá proceder de la misma forma, dividiendo entonces 8:4= 2. Al hacerlo se obtiene una división exacta, que arroja como cociente un número entero. Por ende, se puede concluir que ciertamente el 8 es un múltiplo de 4, que se obtiene cuando se multiplica este número por dos: 4 x 2= 8.
• En el tercer ejercicio, se debe echar mano igualmente de la operación de división, a fin de determinar si realmente el 15 es o no es un múltiplo del número 4. En consecuencia se divide 15 : 4= 3,75. El resultado es un cociente constituido por un número decimal limitado, es decir, que no se ha producido una división exacta, ni se ha logrado obtener un cociente entero. Por ende, se concluye que el 15 no es un múltiplo de 4.
• En cuarto lugar, se tiene que se debe averiguar si 20 es realmente un múltiplo de 4. Para esto, se deberá dividir el 20:4= 5. Al hacerlo se obtiene como respuesta una división exacta y un número entero como cociente. Por lo tanto, el 20 sí resulta ser un múltiplo de 4, el cual se obtiene siempre que se multiplique el 4 x 5= 20.
• También deberá determinarse si el -35 es un múltiplo de 4. A primera vista no lo pareciera, puesto que los números pares dan como resultado en sus múltiplos números pares. Sin embargo, se procederá como siempre se hace en este caso: dividiendo el -35 entre 4, para verificar qué tipo de operación se obtiene: -35 : 4= -8,75. Al hacerlo, se obtiene entonces que la división no ha resultado exacta, ni el cociente obtenido ha sido un número entero, por ende el -35 no es un múltiplo del número 4.
• En este caso, se deberá determinar si el número -16 es o no es un múltiplo de 4. A primera vista pareciera que sí, puesto que tanto el 4 como el 16 son número pares, por lo que la posibilidad de que el segundo sea un múltiplo del primero, en realidad es bastante fuerte. Sin embargo, para tener plena confirmación, será necesario realizar una división entre ellos: -16 : 4 = -4. Al hacerlo, se obtiene efectivamente una operación exacta, así como un cociente entero. Por ende, se concluye que -16 sí es un múltiplo de 4, puesto que al multiplicar 4 x -4= -16 se obtiene como resultado.
• Por último, se deberá determinar si 2 es un múltiplo de 4. Para esto no será necesario realizar la operación de división, puesto que un múltiplo jamás podrá ser menor al número entero que lo produce.

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