Definiciones fundamentales

En este sentido, tal vez lo más conveniente sea delimitar esta revisión teórica a tres aspectos específicos: el primero de ellos, el propio concepto de Números enteros, a fin de cobrar conciencia sobre la naturaleza de los elementos numéricos, directamente involucrados en los ejercicios. Así también, será necesario pasar revista sobre las definiciones de Suma de números enteros y propiedades de esta operación.  A continuación, cada una de estas cuestiones:

Números enteros

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han definido los Números enteros como aquellos elementos numéricos, por medio de los cuales se logra hacer la expresión escrita de las cantidades exactas. Por otro lado, los Números enteros también serán considerados como aquellos elementos constituyentes del conjunto numérico Z, en donde se pueden contar tres distintos tipos o clases de números, explicados a su vez tal como se muestra a continuación:

• Números enteros positivos: por un lado, los Números enteros cuentan dentro de sus elementos con los enteros positivos, los cuales serán entendidos como aquellos que también conforman el conjunto de los Números naturales. En consecuencia, las Matemáticas indican que estos números pueden ser empleados para expresar cantidades exactas, contar elementos de un conjunto, o incluso también asignarles una posición o jerarquía, a fin de organizarlos. En la Recta numérica, estos números son ubicados a la derecha del cero, posición desde donde se extienden hacia el infinito. Cuentan con un signo positivo, el cual en ocasiones no se anota al lado del número, asumiéndose como implícito.
• Números enteros negativos: en segunda instancia, dentro del conjunto de los Números enteros se encontrarán también los enteros negativos, cuya primera característica será la de ser asumidos como inversos de los enteros positivos. En consecuencia, los enteros negativos se ubicarán en la Recta numérica, a la izquierda del cero, punto desde el cual se extenderán hacia el infinito, siempre en dirección opuesta a la que lo hacen los enteros positivos. Cuentan con un signo negativo, el cual se debe anotar siempre a la izquierda del número, para así poder distinguirlo de su inverso. Su tarea es la de indicar la deuda o falta de una cantidad exacta específica.
• Cero: por último, dentro del conjunto numérico Z, se encontrará igualmente el cero, el cual será ubicado en la Recta numérica en el centro de este gráfico unidimensional, en donde le servirá de límite, y a la vez de punto de origen, a los enteros positivos y los enteros negativos. Sin embargo, el cero no estará incluido en ninguno de estos dos grupos, ni tendrá ninguno de estos dos signos, puesto que en sí mismo no es un número sino un símbolo con el cual se expresa la falta total o completa de cantidad.

Suma de números entero

En otro orden de ideas, también será importante pasar revista sobre el concepto de Suma de números enteros, la cual ha sido explicada como la operación por medio de la cual se busca determinar cuál es el total que se obtiene una vez que se combinan los valores de dos o más números enteros, o cuando a un número entero se le añade a su valor el de otros números.

No obstante, tomando en consideración que los Números enteros pueden ser tanto positivos como negativos, entonces al momento de sumarlos se deberá tomar en consideración el signo que acompaña a cada número, teniendo claro, que de acuerdo a la Ley de signos, los números de signos iguales se suman, mientras que los números de signos diferentes se restan.

Propiedades de la suma de números enteros

Finalmente, será también necesario indicar que la Suma de en números enteros, como toda operación matemática, responde a una serie de propiedades o leyes matemáticas, las cuales pueden ser explicadas de forma breve de la siguiente manera:

• Propiedad conmutativa: esta propiedad indica que no importa el orden en el que se presenten los sumandos o factores de una suma entre números enteros, pues siempre se obtendrá igual resultado.

Es decir: a + b = b +a

• Propiedad asociativa: así mismo, dentro de las diferentes propiedades de la Suma de números enteros, se encontrará igualmente la Propiedad asociativa, la cual establece que en toda operación de suma en donde existan más de dos sumandos se podrán realizar entre ellos distintas asociaciones, sin que ello represente una alteración en el resultado final de la operación.

Es decir: (a + b) + c = a + (b + c)

• Elemento neutro: de igual forma, la suma de números enteros responderá igualmente a la propiedad del Elemento neutro, el cual señala que siempre que un número entero se sume con el 0, el resultado será el mismo número.

Es decir: a + 0= 0.

• Elemento opuesto: finalmente, tal como indica el concepto de números enteros, el opuesto de un número entero positivo será el número del mismo valor, pero con signo negativo. Así también, el opuesto de un número negativo, será el número del mismo valor, pero con signo positivo. Es decir a → -a. Así mismo, esta ley matemática señala que toda vez que un número entero se sume con su opuesto, el resultado será 0.

Es decir: a + (-a) = 0

Ejercicios con las propiedades de la suma de números enteros

Una vez revisados cada una de estos conceptos, puede que sea mucho más sencillo aproximarse a cada uno de los ejercicios que se pueden dar en relación a este tipo de propiedades, encontradas en la Suma de números enteros. A continuación, algunos de ellos:

Ejercicio 1

Verifica que en la siguiente operación de suma de números enteros, en efecto se cumpla la Propiedad conmutativa:

4 + (-2) + 3=

En este caso, habiendo tres sumandos, se puede realizar la operación en tres órdenes distintos, para comprobar así que sin importar cómo se lleven a cabo las sumas, siempre se obtendrá igual resultado.

Primer orden:

4 + (-2) + 3=
4 – 2 + 3= 7-2 = 5

Segundo orden:

(-2) + 4 + 3=
-2 + 7= 5

Tercer orden:

3 + (-2) + 4=
3 – 2 + 4 = 7 – 2= 5

Se verifica entonces que ciertamente sin importar el orden de los factores se obtiene el mismo resultado, es decir, que sí se cumple la Propiedad conmutativa.

Ejercicio 2

En la siguiente operación, verifica que sí se cumpla la propiedad asociativa:

5 + 2 + (-1)=

Para esto, será necesario igualmente someter la operación a distintas asociaciones, para comprobar si en efecto se cumple o no lo que dicta la propiedad asociativa:

5 + 2 + (-1)=

Primera asociación:

(5 + 2) -1=
7 – 1= 6

Segunda asociación:

5 + (2 -1) =
5 + 1= 6

Ejercicio 3

Escribe en las siguientes operaciones, qué número falta en el espacio en blanco, para obtener el resultado que expresa el ejercicio:

-7 + (…) = 0

5 + (…)= 0

3 + (…) = 0

-1 + (…) = 0

283 + (…..) = 0

Al revisar todos los resultados de las operaciones presentadas por el ejercicio, se encuentra entonces que tienen como total el 0. De esta manera, se recordará que para que un número se sume con otro, y el resultado sea 0, se tiene que haber sumado con su opuesto, demostrando así la Ley del elemento opuesto. Por ende, los números que faltan en el espacio en blanco serán los siguientes:

 -7 + (7) = 0

5 + (-5)= 0

3 + (-3) = 0

-1 + (1) = 0

283 + (-283) = 0

Ejercicio 4

Demostrar con los siguientes números enteros la propiedad del elemento neutro en la Suma de números enteros:

3, -2, 5, -9, 4

De acuerdo a lo que indica la teoría matemática, la Propiedad del elementos neutro señala que todo número entero que se sume con el cero, dará como resultado el mismo número. Por ende, en cada uno de los casos se tendrá lo siguiente:

3 + 0 = 3
-2 + 0= -2
5 + 0 = 5
-9 + 0= -9
4 + 0 = 4

Imagen: pixabay.com