Definiciones fundamentales

De esta forma, quizás lo más prudente sea delimitar esta revisión también a dos nociones específicas: la primera de ella, la propia definición de Números enteros, pues esto permitirá entender la naturaleza de los elementos en base a los cuales se establece la comparación. Así también, será necesario revisar el concepto de Comparación de números enteros, por ser este el procedimiento que se cumplirá en cada uno de los ejercicios que se expondrán posteriormente. A continuación, cada uno de ellos:

Números enteros

En consecuencia, se podrá comenzar por decir que las Matemáticas han definido los Números enteros como aquellos elementos por medio de los cuales se logra dar expresión escrita a cantidades exactas específicas, así también como a la ausencia o deuda de ellas. Por otro lado, las Matemáticas también indican que los Números enteros son los elementos constituyentes del conjunto numérico Z, en donde se pueden encontrar tres diferentes tipos de elementos, los cuales han sido explicados por su parte de la siguiente manera:

• Números enteros positivos: en primer lugar, dentro de los Números enteros se encontrarán los enteros positivos, elementos que a su vez constituyen el conjunto de los Números naturales. Estos números son ubicados en la Recta numérica a la derecha del cero, punto desde donde se extienden, hacia el infinito y en esa dirección. Cuentan con un signo positivo, el cual en ocasiones no se anota puesto que se da por sobre entendido. Los Números enteros positivos son usados para expresar cantidades exactas específicas, así como para contar los elementos de un conjunto, o incluso asignarles una posición o jerarquía que permita ordenarlos.
• Números enteros negativos: por otro lado, en el conjunto de los Números enteros podrán contarse también los enteros negativos, los cuales son entendidos como los opuestos de los enteros positivos. Por ende, deberán anotarse en la Recta numérica a la izquierda del cero, posición desde donde se extienden al infinito, siempre en sentido contrario al que lo hacen los números enteros positivo. Cuentan con un signo negativo, el cual deberá anotarse siempre, a fin de diferenciar estos números de sus opuestos. En cuanto a su misión, las Matemáticas han expresado que estos números serán usados entonces para expresar la falta o ausencia de una cantidad entera específica.
• Cero: finalmente, el cero será considerado igualmente como parte de los Números enteros. En consecuencia, irá ubicado en la mitad de la Recta numérica, sirviendo de punto de origen –así también como de límite- tanto a los enteros positivos como negativos. Sin embargo, el cero no poseerá ninguno de los dos signos, es decir, no podrá ser considerado ni positivo ni negativo, puesto que en sí no es considerado un número, sino un elemento por medio del cual se le da expresión a la ausencia plena de cantidad.

Comparación de número enteros

En segunda instancia, será también importante pasar revista sobre la Comparación de números enteros, la cual podrá ser entendida entonces como un procedimiento por medio del cual se establece una relación entre dos números, a fin de identificar cuál de ellos es mayor o menor, o incluso si pueden ser considerados como iguales. Por ende, la Comparación de números enteros se harán en base a la utilización de los signos menor que (<), mayor que (>) o igual (=).

Así también, las Matemáticas han señalado que una buena forma de ayuda a la hora de hacer una comparación entre números enteros será la de primero lograr su representación gráfica en la Recta numérica. Al hacerlo se considerará entonces que todo número situado más hacia la derecha del cero será mayor, mientras que en la medida en que este número avance hacia la izquierda, entonces será asumido como menor, sobre todo si se encuentra a la izquierda del cero.

Otra forma de comparar números enteros, y poder determinar si estos son mayores o menores del número con el que se compara es teniendo en cuenta algunos criterios:

• Si ambos números son enteros positivos, resultará mayor el que mayor valor absoluto tenga.
•  Si por el contrario ambos números son negativos, será mayor el que menor valor absoluto tenga, o que se encuentre más cercano al cero en la recta numérica.
• Así mismo, habrá dos máximas matemáticas: el cero será mayor siempre que todo número negativo, mientras que en toda ocasión resultará menor a todo número entero.
• Por otro lado todo entero positivo es siempre mayor que todo entero negativo, y viceversa.

Ejercicios sobre comparación de números enteros

Una vez se han revisado estas operaciones, quizás entonces sea mucho más sencillo abordar cada uno de los ejercicios que se presentan a continuación, sobre la forma correcta en que debe realizarse toda comparación que involucre números enteros:

Ejercicio 1

Comparar y ordenar de menor a mayor los siguientes números enteros: 4, 8, 6, 2, 0

Al momento de hacerlo, se puede hacer uso de la Recta numérica. Siendo todos los números positivos, pues estos se ubicarán en la Recta numérica a la derecha del 0, mientras que este elemento lo hará hacia la mitad:

Hecho esto, se interpretará que el número menor es el ubicado más hacia la izquierda, en este caso el cero, desde ahí se ordenarán los números entonces de menor a mayor, respetando su orden, y relacionándolos por medio de signos del menor que (<):

0 < 2 < 4 < 6 < 8

Ejercicio 2

Comparar y ordenar de mayor a menor los siguientes números: -3, 5, 2, 0, -2

Igualmente en este caso, se podrá hacer uso de la Recta numérica, a fin de representar gráficamente los números enteros dados, permitiendo su fácil lectura y ordenamiento:

En este caso, se entenderá que el número mayor será el situado más hacia la derecha de la Recta numérica, mientras que el menor será el que se ubique más hacia la izquierda. Los números se relacionarán con el signo mayor que (>):

5 > 2 > 0 > -2 > -3

Ejercicio 3

Comparar los siguientes números y expresar por medio del signo mayor que o menor que la relación que existe entre ellos:

4 y -2
5 y 7
0 y 3
2,3,5,9
9, 0, -3
-1,1,2,-2

Siendo todos números enteros, al momento de compararlos, según el orden en el que han sido presentados, se deberá recordar que los enteros negativos son siempre menores que los positivos, mientras que el cero es siempre mayor que los negativos y menor que los positivos. Por ende, cada caso será resuelto de la siguiente manera:

• En este caso se tiene el número entero positivo 4 el cual resultará siempre mayor que el -2. Por ende, al momento de compararlos será necesario relacionarlos por medio de un signo mayor que: 4 >-2
• Por su parte, en el segundo ejercicio se trata de dos números enteros positivos. Por ende, resultará mayor el que más valor absoluto posea, y viceversa, es decir, será menor el que menos valor absoluto tenga. En este caso se trata del 5 y el 7, siendo el primer número menor que el segundo, estos se relacionarán con un signo menor que (<): 5<7
• En el tercer ejercicio se tienen dos elementos pertenecientes al conjunto de los Números enteros: el 0 y el 3. Al momento de comparar según el orden que se ha establecido en el ejercicio simplemente se recordará la máxima matemática de que siempre y sin excepción el 0 es menor que cualquier número entero positivo. Por ende, estos números, siendo el 0 menor que el 3, se relacionarán con el signo menor que (<): 0 < 3
• En el cuarto ejercicio planteado se tiene más de dos números. Encontrándose en orden correlativo, será necesario determinar si se encuentran presentados de menor a mayor, o por el contrario de menor a mayor. Se revisa el primero de ellos y se ve que es el número que menor valor absoluto tiene, mientras que los números que lo siguen presentan cada vez mayor valor absoluto. Por ende, el orden de estos números es de menor a mayor. Al relacionarlos habrá que usar el signo menor que (<): 2 < 3 < 5 < 9
• En este ejercicio también se presentan tres números, de distintas naturalezas: un entero positivo, el cero y un número negativo. Siendo que los números enteros positivos siempre serán mayores que el cero y cualquier número negativo, y que el cero siempre será menor que los enteros positivos y mayor que los enteros negativos, pues se entiende que el orden en el que han sido planteados estos números corresponden a un ordenamiento de mayor a menor. Por lo tanto deberán relacionarse según el signo mayor que (>): 9 > 0 > -3.
• Finalmente, en este ejercicio se tiene cuatro números constituido por parejas de opuestos. Sin embargo, a la hora de comparar y ordenar los números se tomará en cuenta su posición en la recta numérica, es decir, resultará menor el que más se aleje del cero hacia la izquierda, o el número negativo con mayor valor absoluto, mientras que el número mayor será el número entero con mayor valor absoluto. En este caso, hará falta entonces ubicar los números en la Recta numérica, para facilitar su lectura ordenada:

La lectura se podrá hacer tanto de menor a mayor, usando el signo menor que (<): -2< -1 <1< 2. O por el contrario, de mayor a menor, empleando el signo mayor que (>): 2 > 1 > -1 > -2.

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