Factor común (Factorización)

Polinomios

En primer lugar se comenzará por decir que los Polinomios han sido explicados, por el Álgebra elemental, como una expresión algebraica compleja, cuyos elementos constitutivos son momios (combinaciones de números enteros multiplicados por elementos literales elevados a números enteros positivos) que establecen sumas, restas o multiplicaciones entre sí. Un ejemplo de polinomio sería el siguiente:

2x² + 2x + 3 =

Propiedad distributiva

En segundo lugar, será también necesario lanzar luces sobre la definición de la Propiedad distributiva, la cual ha sido explicada, de forma general, como una de las principales propiedades matemáticas de la multiplicación.

Así mismo, de forma más precisa, la Propiedad distributiva será la regla matemática que dicta  que siempre que un elemento se multiplique por la suma de dos o más elementos, el producto será igual a la suma de los productos de cada sumando por el número que los multiplicaba originalmente. Esta propiedad puede expresarse de forma matemática de la siguiente manera:

a . (b + c) = a.b + a.c

Factor común en la multiplicación

Por otro lado, también se requerirá pasar revista sobre el concepto de Factor común en la multiplicación, el cual ha sido explicado tanto como una de las principales propiedades matemáticas en la multiplicación, como la forma inversa de la propiedad distributiva.

En consecuencia, según señalan las fuentes matemáticas, el Factor común en la multiplicación señala que siempre que se encuentre una suma de productos, en donde los elementos presentan un factor común, es decir, un número igual en todas las multiplicaciones, entonces el resultado será igual a tomar dicho factor común y multiplicarlo por la suma de los otros elementos. Esta propiedad puede expresarse matemáticamente de la siguiente forma:

(a . b) + (a . c) = a . (b + c)

Productos notables

Por último, también se deberá revisar el concepto de Productos notables, los cuales pueden ser explicados como aquellas reglas matemáticas fijas, que orientadas a la factorización (expresión de un polinomio como un producto) permiten dar solución a ciertos productos ocurridos entre polinomios, evitando así el hecho de multiplicar de forma detallada cada uno de sus elementos, lo cual además de originar expresiones algebraicas extensas puede requerir mucho más tiempo.

Por ende, los Productos notables facilitan la realización de ciertas operaciones de multiplicación entre polinomios, produciendo incluso que al evitar multiplicar término por término, se reduzcan de forma notable ciertos errores.

Factor común (productos notables)

Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre el Factor común en los Productos notables, el cual ha sido definido como la propiedad matemática que permite resolver por medio de la aplicación de la propiedad distributiva la factorización de un polinomio.

De forma mucho más específica, esta regla fija señala que el resultado de multiplicar un binomio de forma a + b por un término en específico, aplicando la propiedad distributiva, será igual que sumar el producto de este término común por cada uno de los sumandos:

c . (a + b) = c.a + c.b

Por ende, siempre que se tenga una expresión algebraica y quiera expresarse como un polinomio, es decir, quiera factorizarse, entonces se puede emplear el método del Factor común, pues  a partir de la aplicación de la propiedad distributiva, entonces se podrá expresar en forma de producto la expresión algebraica inicial. Esto puede expresarse matemáticamente de la siguiente forma:

x² + ax =  x (x + a)

Ejemplo de Factor común (productos notables)

Sin embargo, puede que la forma más eficiente de completar una explicación sobre el Factor común, en cuanto a los Productos notables, en la Factorización, sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, tal como el que se muestra a continuación:

Suponiendo que se tenga el siguiente suma algebraica:

x² + 6x =

Y se quiera factorizar usando la técnica del factor común. Entonces, se deberán cumplir los siguientes pasos, para convertirla en un producto:

En primer lugar, se toma la suma algebraica x² + 6x  y se buscan factores comunes en ambos términos:  x² + 6x

Al hacerlo se encuentra que ambos términos presentan x como factores comunes. Sin embargo, se debe tomar  la expresión x² + 6x y aplicar entonces el concepto de potencia: x . x + 6x descubriendo que el factor común en ambos término es x.

Se toma la expresión x . x + 6x y se procede a aplicar entonces el factor común: x . (x + 6)

Se asume entonces que el polinomio ha sido expresado de manera factorizada, aplicando entonces el método del Factor común.

x² + 6x  = a su forma factorizada por factor común x(x+6)

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