Fracción generatriz de un número decimal ilimitado periódico mixto

Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que también resulte de provecho enfocar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Números decimales, Números decimales ilimitados periódicos mixtos y Fracción generatriz, pues estos constituyen respectivamente los números y expresiones, directamente involucrados en el hecho de determinar cuál es la fracción que ha generado, o que corresponde, con un decimal ilimitado periódico específico. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Números decimal

De esta forma, se comenzará por decir que los Números decimales han sido descritos por las diferentes fuentes matemáticas, como aquellos elementos numéricos, a través de los cuales se les da expresión escrita a cantidades fraccionarias, que a su vez constituyen números racionales e irracionales. Así también, la disciplina matemática ha señalado que en los Números decimales podrán distinguirse dos partes diferentes, una entera y otra decimal, las cuales han sido explicadas de la siguiente manera:

• Parte entera: en primer lugar, dentro del Número decimal se encontrará una parte, conocida con el nombre de Unidades, y constituida por un Número entero, el cual podrá ser tanto positivo como negativo, o incluso el cero. Al encontrarse constituida por números pertenecientes al Sistema de numeración decimal, en las Unidades del número decimal habrá valor posicional, por lo que entonces podrán identificarse, de derecha a izquierda, las unidades, decenas, centenas, unidades de mil, decenas de mil, etc., que van construyendo el número entero que conforma esta parte del número decimal.
• Parte decimal: por otro lado, en el Número decimal también podrá encontrarse una parte decimal, la cual es denominada por las Matemáticas como Unidades incompletas. Estas se encontrarán conformadas por un número siempre menor a la unidad, y que puede ser ubicado, en la Recta numérica, entre el 1 y el 0. En esta parte del número decimal también podrá hablarse de valor posicional, encontrándose en ella por su lado, y de izquierda a derecha, las décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas, etc.

Ambas partes del Número decimal, es decir, las Unidades y las Unidades incompletas, se encuentran separadas –y a la vez unidas- por una coma, aun cuando existen corrientes matemáticas que se inclinan por el uso del punto. Independientemente del signo que se escoja para constituir el número decimal, a la derecha de este deben ser siempre anotadas las Unidades incompletas, es decir, la parte decimal del número, mientras que la parte entera, las Unidades, serán colocadas a la izquierda.

Número decimal ilimitado periódico mixto

En segunda instancia, será también menester referir que existen varios tipos de números decimales, los cuales son clasificados según las características de sus unidades incompletas, según estas sean limitadas o ilimitadas.

Dentro de los números decimales ilimitados, es decir, aquellos números decimales que cuentan con unas Unidades incompletas infinitas, se encontrará un subtipo conocido como Números decimales ilimitados periódicos mixtos, los cuales básicamente serán descritos por las Matemáticas como aquellos números decimales que cuentan con unas unidades incompletas en las que puede ser visto un período que se repite varias veces en el número, pero que –a diferencia del decimal ilimitado periódico puro- el primer número de este período se encuentra a cierta distancia de la coma, habiendo entre este signo y la serie o período algunos números que no se repetirán, y que por su parte se conocen como anteperíodo.

De hecho, la existencia dentro de las Unidades incompletas de los decimales ilimitados periódicos mixtos de un período y un anteperíodo es lo que ha hecho que estos números sean conocidos también como periódicos mixtos, impuros o incluso como números decimales ilimitados semiperiódicos.

Fracción generatriz

En último lugar, será también recomendable detenerse un momento sobre la definición que ha dado la Matemática sobre la Fracción generatriz, la cual ha sido vista como la fracción de la cual proviene, se genera o corresponde un número decimal específico, siempre que este se encuentre constituido por un número racional, es decir, que cuenta con unas unidades incompletas limitadas o con períodos que se repitan, pues de lo contrario se estará frente a un número decimal que refiere a un número irracional, el cual por naturaleza cuenta con la imposibilidad de ser expresado en forma de fracción, es decir, que no tiene Fracción generatriz.

Es importante también recordar que una fracción básicamente es la expresión de un cociente entre dos números enteros, los cuales conforman respectivamente cada una de las partes que tiene una fracción: un numerador, elemento que constituye la parte superior de la fracción, y que señala cuántas partes del todo han sido tomadas; y un denominador, que conforma la parte inferior de la expresión, al tiempo que indica en cuántas partes se encuentra dividido el todo del cual la fracción representa solo algunas partes, indicadas por el numerador.

Fracción generatriz de un decimal ilimitado periódico mixto

Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, quizás ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre la forma correcta en que debe ser resuelta toda operación, cuyo objetivo sea determinar cuál es la Fracción generatriz de todo decimal que cuente en sus unidades incompletas con un anteperíodo y un período, es decir, que sea un decimal ilimitado periódico mixto.

En este orden de ideas, las Matemáticas han planteado una serie de pasos que deben ser seguidos a la hora de enfrentar una operación de este tipo, y que básicamente pueden ser enumerados de la siguiente manera:

1.- En primer lugar, una vez que se ha dado el número sobre el cual debe hallarse la Fracción generatriz, se deberán revisar sus unidades incompletas, para determinar qué tipo de número decimal es, y si en realidad corresponde con un número racional.

2.- Hecho esto, y encontrado que en las unidades incompletas del número se puede encontrar la existencia de un anteperíodo y un período, se entiende que es un número racional, y que por ende sí cuenta con una fracción generatriz.

3.- Para determinar la Fracción generatriz se deberá entonces proceder tomar el número decimal y suprimir su coma, para colocarlo posteriormente en el numerador de los que será la Fracción generatriz. Es decir, que en el numerador se coloca todo el número, sin comas, teniendo entonces su parte entera, su anteperíodo y su período.

4.- Seguidamente, a este número que se ha colocado en el numerador se le restará un número constituido, en orden, por la parte entera y el anteperíodo. Esta resta originará el numerador definitivo.

5.- Por su parte, el Denominador estará conformado por un número que estará constituido por tantos nueves como números tenga la parte entera del número decimal original, seguidos de tantos ceros como elementos haya tenido el anteperíodo del número decimal ilimitado periódico mixto, sobre el cual se ha calculado la Fracción generatriz.

Ejemplo de fracción generatriz de un decimal ilimitado periódico mixto

Empero, puede que la mejor manera de concluir una explicación sobre la manera en que debe procederse siempre que se vaya a determinar la Fracción generatriz de un decimal ilimitado periódico mixto sea a través de la exposición de un ejemplo concreto que permita ver en la práctica cómo se cumplen cada uno de los pasos señalados por la disciplina matemática, tal como se puede ver en el ejercicio que se muestra a continuación:

Hallar la Fracción generatriz del siguiente número: 234,987564564564…

1.- Una vez que se tiene el número decimal, se puede ver en sus unidades incompletas cómo existe una parte, ubicada después de la coma, la cual no se repite, y se encuentra seguida de una parte que sí lo hace varias veces, y que tal como señalan los puntos suspensivos que la siguen, esta repetición se extiende al infinito. En conclusión, el número decimal proporcionado se trata de un decimal ilimitado periódico mixto, en donde existe un anteperíodo y un período, por lo tanto sí cuenta con una Fracción generatriz, por ser un número racional.

2.- Sin embargo, antes de proceder a encontrar esta Fracción generatriz será necesario entonces expresar el número de forma resumida, es decir, solo con su parte entera, su anteperíodo y la serie de números que constituyen el período que se repite en él, al cual se le agregará en la parte superior un signo, que indicará entonces que este número se repite infinitamente en el número decimal:

3.- Hecho esto, se podrá entonces a realizar los pasos necesarios para hallar la Fracción generatriz correspondiente a este decimal ilimitado periódico mixto. Para esto, se deberá comenzar por tomar el número completo, suprimirle la coma, y considerarlo como el primer número que deberá ser anotado en el numerador:

4.- Nuevamente, se tomará el número decimal, al que le ha sido suprimida la coma, y se tomará solo la parte constituida por la parte entera y el anteperíodo:

5.- Este número obtenido, se le restará entonces al primer número anotado en el numerador:

6.- Por su parte, el denominador deberá ser conformado por un número constituido por tantos nueves como elementos haya tenido la parte entera, y tantos ceros como números haya tenido el anteperíodo:

7.- Obtenida esta expresión, se considera entonces hallada la Fracción generatriz del número decimal ilimitado periódico mixto, que fue dado en el ejercicio:

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