Dentro de los distintos tipos de identidades notables que existen en el Álgebra, puede encontrarse la Identidad de Arganˈd. Sin embargo, antes de abordar una explicación sobre esta fórmula matemática para la factorización, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entenderla dentro de su justo contexto.
Definiciones fundamentales
Por consiguiente, se tomará también la decisión de delimitar esta revisión teórica a dos nociones específicas: Trinomios e Identidades notables, por encontrarse directamente relacionadas con la identidad que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:
Trinomios
De esta manera, podrá comenzarse por decir que un Trinomio es una expresión algebraica, que se encuentra constituida por la suma o resta de tres monomios, es decir, de tres términos algebraicos, que se encuentran cada uno de ellos constituidos por un elemento numérico y un elemento literal, entre los que se establece una multiplicación, siendo esta la única operación posible entre ellos.
Por ende, hay fuentes que describen los Trinomios también como polinomios de tres términos. A continuación, algunos ejemplos de esta clase de expresión algebraica:
x2 + y + 2 =
a7 + c2 + 3 =
x4 + y3 + z2 =
Identidades notables
Por otro lado, también será necesario tomar un momento para revisar el concepto de Identidades notables, las cuales han sido explicadas como un conjunto de reglas matemáticas, que tienen como norte la factorización de polinomios, es decir, el proceso por medio del cual se convierte un polinomio en un producto.
Así mismo, los distintos autores señalan que las Identidades notables permiten que la multiplicación de polinomios no se haga término por término, sino de forma directa, lo cual evita que se comentan errores, implicando también un ahorro de tiempo.
Identidad de Arganˈd
Toda vez se han revisado estas definiciones, puede entonces que sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre la Identidad de Arganˈd, la cual ha sido explicada, de forma general, como una de las principales identidades notables, que pueden emplearse para la factorización de polinomios, cuando estos cuentan con tres términos.
Por igual, las distintas fuentes señalan que pueden encontrarse dos distintos casos para esta identidad notable. A continuación, una breve explicación de cada uno de ellos:
Cuando el trinomio es de forma (x2 + x + 1)
En primer lugar, uno de los casos que puede tener esta identidad notable ocurre cuando el trinomio tiene forma x2 + x + 1. En este tipo de casos la factorización de esta clase de polinomios, cuando son conjugados, el resultado será igual al primer término elevado a la cuarta potencia, más el cuadrado del primer término, más el término independiente. Esta fórmula se expresa de forma matemática de la siguiente forma:
(x2 + x + 1).(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
Un ejemplo de la aplicación de esta identidad puede ser la siguiente:
(x4 + x2 + 1).(x4 – x2 + 1) = x8 + x4 + 1
Cuando el trinomio es de forma (x2 + xy + y2)
Por otro lado, también puede suceder que la Identidad de Arganˈd se deba resolver cuando se trata de trinomios conjugados de forma x2 + xy + y2. En este tipo de situaciones, la factorización será entonces igual al a cuarta potencia del primer término, más el producto del primer término al cuadrado por el segundo término al cuadrado, más el segundo término al cuadrado. Esta fórmula puede expresarse de la siguiente manera:
(x2 + xy + y2) . (x2 – xy + y2) = x4 + x2y2+ y2
Un ejemplo de la aplicación de este caso de la Identidad de Arganˈd será el siguiente:
(x6 + x3y + y2) . (x6 – x3y + y2) = (x3)4 + (x3y)2 + y4 = x12 + x6y2 + y4
Imagen: pixabay.com
