Resolución de las ecuaciones incompletas cuando el término lineal es nulo

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, se tomará también la decisión de enfocar esta revisión teórica en cinco nociones específicas: Término algebraico, Igualdades, Ecuaciones, Ecuaciones de segundo grado y Ecuaciones de segundo grado incompletas, por encontrarse directamente relacionadas con el procedimiento que se estudiará posteriormente. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Término algebraico

De esta forma, se comenzará por decir que las Matemáticas han explicado, de forma general, al Término algebraico, como una expresión constituida por un elemento abstracto numérico y un elemento abstracto literal, entre los que ocurre una operación de multiplicación, sin que entre ellos exista entonces la posibilidad de que pueda existir otro tipo de procedimiento, es decir, que entre ellos queda exceptuadas las operaciones de suma, resta o división. Un ejemplo de este tipo de expresiones puede ser el siguiente:

-2xyz²

Igualmente, la disciplina matemática señala que el Término algebraico se encontrará constituido por cuatro distintos elementos, cada uno de los cuales ha sido explicado por los diferentes autores, de la siguiente forma:

• Signo: en primero lugar, si se realizara una lectura de izquierda a derecha, se encuentra el signo, elemento este que en el término algebraico cuenta con la misión de indicar la naturaleza de la expresión, o en otras palabras, si el término es positivo o negativo. Así mismo, las Matemáticas han señalado que tradicionalmente si el término resulta positivo, entonces se optará por no anotar de forma explícita el signo más (+) antes del término, puesto que se da por sobreentendido. En caso contrario, es decir, que el término algebraico sea negativo, entonces sí deberá anotarse en todo momento el signo menos (-) delante de la expresión.
• Coeficiente: si se continúa la lectura hacia la derecha del término algebraico, se encontrará entonces el Coeficiente, elemento este que se encuentra conformado por un elemento abstracto numérico, cuya misión es indicar la cantidad por la cual debe multiplicarse el literal, en caso de que asuma un valor específico.
• Literal: así mismo, en el término algebraico puede encontrase el elemento literal, el cual se encuentra conformado entonces por una letra, cuya tarea es asumir valores diferentes en momentos específicos. De acuerdo a la tradición matemática, se usan las letras a, b y c, para señalar los literales de un número, mientras que si estos literales resultaran incógnitas a despear, entonces mejor sería utilizar las letras x, y o z.
• Grado: por último, en el Término algebraico, se encontrará también el Grado, elemento este que se encuentra constituido por el valor del exponente al cual se encuentra elevado el elemento literal. En caso de que el término algebraico cuente con varios elementos literales, entonces el Grado será dado por el máximo valor al que se encuentre elevado alguno de sus elementos. Si el elemento de un término no cuenta con un exponente explícito, entonces se asume que se encuentra elevado a la unidad, y que por ende es de primer grado.

Igualdades

En segunda instancia, será también útil tomar un momento para revisar la definición de Igualdades, las cuales han sido explicadas por las Matemáticas como la relación que existe entre dos o más elementos o términos, que resultan iguales, en tanto sus respectivos valores específicos. Así también, las Matemáticas han explicado que el signo para referir esta relación es el signo igual (=).

Por otra parte, se tendrá que las Igualdades se encuentran compuestas por dos distintos términos, cada uno de los cuales han sido explicados de la siguiente forma:

• Primer término: el cual se encuentra ubicado antes del signo igual.
• Segundo término: así mismo, en las igualdades se encontrará un segundo término, el cual se encuentra conformado por los elementos que se disponen después del signo usado para expresar estar igualdad.

Además, en las igualdades, podrán distinguirse dos diferentes clases:

• Igualdades numéricas: cuando los términos que componen la igualdad se encuentra completamente constituidos por números.
• Igualdades literales: cuando los términos entre los que se establece la igualdad, aparte de contar con elementos numéricos, también cuentan con la presencia de elementos abstractos literales.

Ecuaciones

Otro de los conceptos que será necesario traer a capítulo es la definición de Ecuaciones, las cuales han sido explicadas entonces como aquellas igualdades literales, en donde ocurre que el término literal constituye una incógnita a despejar, y que se caracteriza por contar con una sola posible solución, para que la igualdad original se cumpla. Por tradición, al literal que constituye la incógnita en las ecuaciones, se le conoce como x. Un ejemplo de este tipo de igualdad será la siguiente:

x + 5 = 10

Suponiendo que se tiene esta igualdad, se podría optar por un ejercicio en el cual se sustituya la x por distintos valores, a fin de determinar si realmente la igualdad se cumple con todos los valores posibles, o solo con uno de ellos:

3 + 5 = 10 → 8 ≠ 10
9 + 5 = 10 → 14 ≠ 10
8 + 5 = 10 → 13 ≠ 10
5 + 5 = 10 → 10 = 10

Al hacerlo, se encontrará entonces que la igualdad literal original sólo es posible cuando la x asume un valor igual a 5. Por ende, siendo una relación de igualdad que sólo se cumple cuando x tiene un valor específico, que además resulta una incógnita, se deduce que se está frente a una ecuación. Si por el contrario, la igualdad fuese posible con cualquier valor de x, entonces la relación sería identificada como una Identidad.

Ecuaciones de segundo grado

Entre las distintas definiciones que deben revisarse, se encuentra también el correspondiente a las Ecuaciones de segundo grado, las cuales han sido explicadas entonces como aquellas igualdades literales, en donde además de que el literal constituye una incógnita a despejar, se encuentra elevada al cuadro. En caso de que la ecuación cuente con más literales, el mayor valor al que se encuentran elevados estos será el cuadrado. A continuación, un ejemplo de la forma que puede asumir una ecuación de este tipo, una vez simplificada.

ax² + bx + c = 0

Así mismo, las Matemáticas han señalado que las Ecuaciones de segundo grado se encuentran conformadas por dos distintos tipos de componentes, los cuales han sido explicados de la siguiente forma:

• Elementos: en primer lugar, se encontrarán los elementos, divididos a su vez en dos distintos subtipos: por un lado, estarán entonces los elementos a, b y c, identificados como coeficientes, constituidos por elementos numéricos; por su parte, se encontrará también la x, elemento literal que es identificado como la incógnita a despejar.
• Términos: por otro lado, en las Ecuaciones de segundo grado se encontrarán también tres distintos términos, definidos entonces de la siguiente forma:

• ax² → conocido como término cuadrático, es el término encargado de darle el grado a la ecuación.
• bx → término lineal.
• c → término independiente, llamado así por encontrarse conformado por un elemento abstracto numérico, el cual no se encuentra relacionado con ningún elemento literal.

Ecuación de segundo grado incompleta

Finalmente, resultará también necesario pasar revista sobre el concepto de Ecuación de segundo grado incompleta. Al respecto, es necesario aclarar que este tipo de ecuación puede ser descrita entonces como el tipo de ecuación, en donde además de que el máximo valor del exponente al que se encuentra elevado el literal es el cuadrado, algunos de los términos de esta ecuación se encuentran anulados, lo que da lugar a que la ecuación no cuente con alguno de sus tres términos.

Sin embargo, es necesario aclarar que la posibilidad de resultar nulo nunca pesa sobre el primer término, puesto que si esto fuese así, la ecuación perdería su segundo grado, quedando tan sólo una ecuación de primer grado, del tipo bx + c = 0.

La situación por la cual un término de la ecuación podría resultar nulo sería por contar con un coeficiente igual a cero. Aun cuando esta situación está negada para el primer término, sí puede ocurrir en los otros dos de ellos, dando como resultado las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

• ax² + bx = 0 → en primer lugar, puede ocurrir que el término nulo sea el término independiente, lo cual ocurre cuando este es igual a cero.
• ax² + c = 0 → también podría ocurrir que el término nulo fuese el término lineal, lo cual acaecería si el coeficiente de este término fuese igual a cero.
• ax² = 0 → por último, existe igualmente la posibilidad de que tanto el coeficiente del término lineal como del término independiente sean iguales a cero, por lo que estos términos serían anulados, dando forma a este tipo de ecuación de segundo grado incompleta.

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas de forma ax² + c = 0

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a la forma correcta en que debe ser resuelta toda ecuación de segundo grado incompleta, la cual cuente con un término lineal nulo, por lo que asuma la forma ax² + bx = 0. En este sentido, las distintas fuentes han señalado que toda ecuación que posea esta forma tendrá la siguiente respuesta:

No obstante, tal vez también sea necesario revisar cuáles son cada uno de los pasos que llevan a esta ecuación a encontrar su solución. A continuación, cada uno de ellos:

1.- Dada la ecuación, de forma ax² + c = 0, lo primero que se hará será despejar x², para esto se aislará este literal en el primer término, al tiempo que se trasponen los demás elementos que no sean x, los cuales pasan al siguiente término, con signos opuestos:

2.- Así mismo, el objetivo será aislar por completo la x, por lo que el exponente cuadrado pasa también al siguiente término:

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