Ejemplos de resolución de las ecuaciones incompletas cuando el término independiente es nulo

Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que sea entonces necesario delimitar esta revisión teórica a cinco nociones específicas: Término algebraico, Ecuaciones, Ecuaciones de segundo grado, Ecuaciones de segundo grado incompletas y Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas de forma ax² + bx = 0, por encontrarse directamente  relacionados con los ejemplos, que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Término algebraico

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han explicado el Término algebraico como una expresión matemática, constituida por un elemento abstracto numérico y un elemento abstracto literal, entre los que ocurre una operación de multiplicación, siendo este el único procedimiento aceptado entre estos dos elementos. Un ejemplo de término algebraico podría ser el siguiente:

-5x²yz

Así mismo, las Matemáticas señalan que los términos algebraicos se encuentran conformados por cuatro distintos elementos:

• Signo: responsable de señalar si el término es positivo (+) o negativo (-).
• Coeficiente: constituido por el elemento numérico. Señala la cantidad por la que debe multiplicarse el literal, una vez asuma un valor específico.
• Literal: conformado por una letra, que asume un valor determinado en un momento preciso.
• Grado: viene dado por el exponente al cual se encuentra elevado el literal.

Ecuaciones

Por su parte, las Ecuaciones han sido explicadas entonces como un tipo de igualdad literal, en donde ocurre que el elemento literal, constituye una incógnita que cuenta tan solo con la posibilidad de asumir un valor específico, que permita que se cumpla la igualdad planteada originalmente. Por tradición la incógnita es representada en las Ecuaciones a través de la letra x. Un ejemplo de este tipo de expresiones matemáticas serán las siguientes:

x – 3 = 9

Frente a esta ecuación, se puede optar por reemplazar la x por distintos valores, a fin de corroborar si la igualdad se cumple independientemente del valor que asuma x, o si por el contrario sólo con uno en específico:

2 – 3 = 9 → – 1 ≠ 9
5 – 3 = 9 → 2 ≠ 9
-3 -3 = 9 → 6 ≠ 9
6 – 3 = 9 → 3 ≠ 9
12 – 3 = 9 → 9 = 9

Al hacerlo, se encuentra entonces que la igualdad literal planteada sólo ocurre cuando la x resulta igual a 12. Por ende, siendo una igualdad literal en donde la incógnita sólo puede tener un valor preciso para que la relación se cumple, se resuelve que se está frente a una Ecuación. Si sucediera que la igualdad pudiese establecerse independientemente del valor que presenta el literal, entonces se trataría de una identidad.

Ecuaciones de segundo grado

Así mismo, se tomará un momento para lanzar luces sobre la definición de Ecuaciones de segundo grado, las cuales han sido explicadas entonces como aquellas igualdades literales, en donde la incógnita además de tener la posibilidad de corresponder tan solo con un número, constituye un literal elevado al cuadrado. A continuación, la forma que debe tener toda Ecuación de segundo grado simplificada:

ax² + bx + c = 0

Por otro lado, las diferentes fuentes han señalado que en toda Ecuación de segundo grado pueden encontrarse dos tipos de componentes, los cuales han sido explicados de la siguiente forma:

• Elementos: en primer lugar se encontrarán los elementos, tipo de componentes que cuentan a su vez con dos diferentes subtipos: por un lado, se encontrarán los elementos a, b y c, constituidos por los coeficientes, es decir, por elementos numéricos; por otro, también existirá la x, elemento este que conforma la incógnita de este tipo de expresión.
• Términos: así mismo, en las Ecuaciones de segundo grado podrá hablarse también de término, específicamente de tres de ellos:

• ax² → conocido como término cuadrático, tiene la responsabilidad de darle el grado a la ecuación.
• bx → este término recibe por su lado el nombre de término lineal.
• c → por último, en las ecuaciones de segundo grado podrá encontrarse también el Término independiente, constituido por un elemento numérico que no se encuentra acompañado de ningún elemento literal.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Por su lado, las Ecuaciones de segundo grado incompletas serán definidas como aquellas ecuaciones o igualdades literales, en donde la incógnita, además de encontrarse elevada al cuadrado, no cuenta con sus términos completos.

De esta manera, se tendrá que en toda ecuación de segundo grado el término cuadrático deberá contar siempre con un coeficiente diferente a cero, para poder ser una ecuación de segundo grado, pues de lo contrario este término –siendo el coeficiente cero- se anularía, dando paso a una ecuación de primer grado, del tipo bx + c = 0.

Sin embargo, a excepción del término cuadrático, los otros dos términos de la ecuación de segundo grado pueden tener efectivamente coeficientes iguales a cero, lo que originaría los siguientes tipos de ecuaciones de segundo grado incompletas:

• ax² + bx = 0 → este tipo de ecuación se originará cuando el término independiente resulta igual a cero, por lo que se le considera nulo, dando paso a este tipo de ecuación de segundo grado incompleta.
• ax² + c = 0 → también puede ocurrir que el término que resulta nulo, al tener el coeficiente o elemento numérico igual a cero, sea el término lineal, lo cual originaría este tipo de ecuación.
• ax² = 0 → por último, entre los distintos tipos de ecuaciones de segundo grado incompletas, también puede ocurrir que los dos términos, es decir, tanto el lineal como el independiente, cuenten con coeficientes iguales a cero, lo que hará que ambos sean nulos, dando entonces paso a este tipo de ecuaciones de segundo grado incompletas.

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas de forma ax² + bx = 0

Por último, también será necesario revisar qué dice la teoría matemática respecto a la forma correcta en que deben ser resultas este tipo de ecuaciones, de segundo grado, en donde resulta entonces que el término independiente resulta nulo, por lo que la igualdad literal termina incompleta, y con la forma ax² + bx = 0. En este sentido, las diferentes fuentes señalan que toda operación de este tipo contará finalmente con dos posibles soluciones, tal como se muestra a continuación:

Así también, los distintos autores han indicado que siempre que se esté delante de una ecuación de segundo grado incompleta, que responda a esta forma, se deberán cumplir, para su resolución adecuada, los siguientes pasos:

1.- Una vez planteada la ecuación de forma ax² + bx = 0, entonces será necesario comenzar por sacar el factor común en el primer término, es decir, en los elementos que se encuentran ubicados antes del signo igual (=):

ax² + bx = 0 →  x . (ax + b)= 0

2.- Planteada en estos términos la igualdad, se concluye entonces que para que esta operación dé como resultado cero, entonces sólo existen dos posibilidades, y de ahí las dos posibles soluciones. Por ende, bajo estas circunstancias, se concluye o que x = 0 o que ax + b = 0. En consecuencia, estas realidades o respuestas serán presentadas entonces de la siguiente manera:

Ejemplo de solución de ecuaciones de segundo grado incompletas de forma ax² + bx = 0

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente resulte mucho más sencillo abordar un ejemplo concreto, que permita ver la forma en que debe aplicarse la teoría a la práctica, respecto a solucionar toda ecuación de segundo grado incompleta, en donde el término independiente resulta nulo. A continuación, el siguiente ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación 4x² – 8x = 0

1.- Lo primero que se hará será evaluar los componentes (elementos y términos) con los que cuenta la ecuación, pues esto servirá para determinar de qué tipo se trata. Al hacerlo, se encontrará que la Ecuación corresponde a una ecuación de segundo grado, pues el máximo valor de los exponentes a los que se encuentra elevado el literal es el cuadrado. Así mismo, podrá observarse cómo la ecuación resulta incompleta, en tanto le falta el término independiente.

2.- Teniendo conciencia, entonces de que la ecuación responde a una ecuación de segundo grado incompleta, de forma ax² + bx = 0, se comienza por sacar el factor común del primer término:

4x² – 8x = 0 → x . (4x – 8) = 0

3.- Teniendo esta expresión, se concluye entonces que la única forma de que esta operación dé como resultado cero es que x = 0, o que en su defecto 4x – 8 = 0. Por ende, se tienen las dos posibles soluciones a las que responderá esta ecuación:

x = 0
4x – 8 = 0

4.- Sin embargo, la segunda operación puede ser resuelta todavía un poco más, por lo que se buscará aislar la x, en el primer término, para trasponer los otros elementos al segundo término:

5.- Finalmente, se obtienen entonces las dos posibles soluciones a esta ecuación:

x₁ = 0
x₂ = 2

Ejemplo 2

Resolver la siguiente ecuación: 3x² – 5x = 0

1.- De igual forma, lo primero que se hará en este ejercicio es evaluar ante qué tipo de ecuación se está. Por consiguiente, se tiene que la ecuación es de segundo grado. No obstante, el término independiente de la igualdad literal resulta igual a cero, por lo que es una Ecuación de segundo grado incompleta, de forma ax² + bx = 0.

2.- Determinado esto, se procede a comenzar a resolver la ecuación. Para esto, se saca el factor común del primer término:

3x² – 5x = 0 → x . (3x – 5) = 0

3.- Ante este planteamiento, igualmente se concluye, que para que esta ecuación arroje como resultado cero, entonces sólo existen dos posibles respuestas: que x = 0, o que 3x – 5 = 0. Por ende, se pueden expresar las dos respuestas de esta ecuación de la siguiente forma:

x = 0
3x – 5 = 0

4.- Sin embargo, es necesario desarrollar un poco más la segunda solución:

5.- Por ende, aun cuando esta segunda respuesta no puede resolverse como en el primer ejemplo, por no ser una fracción que dé como resultado un número entero, las dos soluciones de esta ecuación serán expresadas de la siguiente forma:

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