Definición de Álgebra

En este sentido, resulta pertinente comenzar entonces con la propia definición de Álgebra, la cual puede ser básicamente concebida como una de las cuatro grandes Ramas de las Matemáticas, cuyo principal campo de estudio se encuentra constituido por las entidades abstractas, tanto numéricas como no-numéricas, así también como por las estructuras algebraicas. De esta forma, el Álgebra se encargará de estudiar la naturaleza y relaciones que pueden existir entre elementos numéricos y no numéricos, a fin de concebir un conocimiento lo más general posible, que pueda ser homologado a otras ramas matemáticas.

Definición del Álgebra elemental

Dentro del Álgebra, según señalan las distintas fuentes, pueden distinguirse dos campos esenciales: el Álgebra Abstracta, la cual se encarga del estudio de elementos totalmente abstractos –es decir, no equivalentes o en representación de números- así como de las distintas estructuras algebraicas; así mismo se encuentra el Álgebra Elemental, la cual se encuentra estrechamente ligada  a la Aritmética, y puede ser definida como la rama que se encarga de estudiar la naturaleza y las relaciones que existen entre los elementos abstractos numéricos (números) y los elementos abstractos no numéricos (letras o literales, que constituyen las variables). La idea es lograr estudiar las expresiones algebraicas, a fin de poder comprender las distintas propiedades que existen dentro del sistema establecido por los números reales.

Propiedades de las operaciones del Álgebra Elemental

Así mismo, la teoría al respecto indica que las distintas operaciones que pueden establecerse entre los elementos o expresiones algebraicas responden a un grupo de Leyes, las cuales dan cuenta tanto de las posibilidades como de las relaciones permitidas entre estas entidades abstractas. A continuación, algunas de ellas:

Propiedades de la adicción de términos algebraicos

La adicción es una de las operaciones matemáticas básicas, contempladas tanto por la Aritmética como por el Álgebra elemental, y cuya definición primordial es la de procurar la combinación o la suma (añadir una cantidad a otra, obteniendo un total) de dos entidades abstractas. Se encuentra representada por el signo más (+). En el caso de la operación de adicción contemplada por el Álgebra elemental se distinguen una serie de propiedades, como las que se nombran a continuación:

• Siendo el signo más el usado para expresarse, toda operación de suma de expresiones algebraicas serán escritas de la siguiente manera:

a+b.

• Toda operación de adicción contemplada dentro del Álgebra elemental responderá a la propiedad conmutativa, es decir, que el orden de los factores no altera el producto, hecho que puede ser expresado de la siguiente manera:

a+b = b+a

• Así mismo, las operaciones de adicción dentro del Álgebra elemental se rigen también por la Ley asociativa, la cual se refiere a la operación o que cumpla el precepto de igualdad cuando se plantee una operación que incluya tres o más elementos, es decir, que planteados estos tres elementos, el resultado no se alterará así se cambie el orden en que se hagan las operaciones, sin alterar el orden o posición de los elementos:

a + (b+c) = (a+b)+c

• Igualmente, en el Álgebra elemental la adicción cuenta con una operación inversa que recibe el nombre de sustracción (a-b) y que puede ser planteada así, o también como la suma de un número negativo:

a + (-b)= a-b

• Finalmente, dentro de la adicción de entidades abstractas existe la presencia de un elemento neutro, el cual está constituido por le cero (0), y cuenta con la característica de no alterar para nada el resultado de la operación.

Propiedades de la multiplicación de términos algebraicos

Así mismo, la multiplicación, operación que básicamente insta a sumar un elemento abstracto, la cantidad de veces que indica otro número abstracto, también cuenta con sus propias Leyes o propiedades, entre ellas se encuentran las siguientes:

• La multiplicación de términos algebraicos tiene dos formas para expresarse, es decir, dos signos válidos para indicar que dos elementos se están multiplicando. De esta forma, puede expresarse de dos formas:

tanto así (a x b) como así (a.b)

• Igualmente, se trata de una operación que responde a la Ley Conmutativa, es decir, que aunque sus factores cambien de orden, el resultado de la operación no variará:

a . b = b . a

• Así también, la multiplicación de expresiones algebraicas responde a la propiedad asociativa, es decir, que habiendo tres o más elementos, se puede cambiar el orden de las operaciones –no de los elementos- sin que se altere el resultado final:

(a . b) . c = a . (b . c)

• La multiplicación cuenta además con la propiedad de poder ser expresada sin necesidad de un signo matemático, es decir, puede abreviada a través de la yuxtaposición de los términos algebraicos:

a . b = ab

• La multiplicación cuenta también con una operación inversa, denominada división, la cual puede ser entendida como la multiplicación de un número por el recíproco (1/x) de otro:

• De la misma manera que la adicción, la multiplicación cuenta con un elemento neutro: el número uno (1) el cual al ser incluido en cualquier operación no alterará el resultado.

• Finalmente, la multiplicación de términos algebraicos responde a la propiedad distributiva para la adicción, la cual indica que la multiplicación de un elemento por la suma de otros puede ser igual a la suma de la multiplicación de ese elemento por cada uno de los sumandos que constituyen la suma:

a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

Propiedades de la potenciación en el álgebra

Por su parte, otra de las operaciones que se dan en el Álgebra elemental es la potenciación, la cual consiste en multiplicar un elemento (la base) por sí mismo el número de veces que indique otro elemento (llamado exponente). Entre las propiedades que existen en este tipo de operaciones se encuentran las siguientes:

• La operación de potenciación siempre será expresada a través de una base, la cual a su vez estará elevada a un exponente:

a^b

• A diferencia de la suma y la multiplicación, la potenciación no responde en ningún momento a la propiedad conmutativa, es decir, que en su caso el orden de los factores sí alteraría el producto:

a^b ≠ b^a

• Así tampoco, en la potenciación no puede hablarse de propiedad asociativa, puesto que una alteración en el orden de las operaciones sí afectaría el resultado de la operación.

• La operación inversa sería el logaritmo, el cual en lugar de multiplicar por sí mismo un elemento las veces que el otro elemento le dijera, se logra expresar en potencia un número, por ejemplo cuando se señala que el logaritmo de 1000 es 10³, pues para lograr el mil deberían multiplicarse tres veces sobre sí mismo el 10.

• Por otro lado, las operaciones de potenciación cumplen con la propiedad distributiva para la multiplicación, por lo que el producto de las bases elevadas a un exponente es equivalente a la multiplicación de cada base elevada a ese exponente:

(a . b)^c = a^c . b^c

Así también, en las operaciones de potenciación, el Álgebra elemental contempla una propiedad en donde aquellas bases iguales, que se encuentren multiplicándose pueden sumar sus exponentes:

a^b . a^c = a^b+c

• Finalmente, el Álgebra permite o contempla como propiedad de las operaciones de potenciación el que si una potencia (base y exponente) se encuentran elevados a su vez a otro exponente, ambos exponentes pueden multiplicarse, a fin de obtener un total al que será elevada la base:

(a^b)^c = a^bc

Orden de las operaciones

Por otro lado, en las expresiones algebraicas se cumplen con varias operaciones conducidas a encontrar el valor definitivo de la operación planteada, también pueden existir Signos de Agrupación los cuales indique con su presencia el orden en el que deberán ser resueltas las distintas operaciones, las cuales entonces se irán resolviendo según su prioridad, para después continuar con la solución de las distintas operaciones. Sin embargo, básicamente se puede decir que el orden de solución de una expresión algebraica, según las Leyes del Álgebra elemental, se darán en el siguiente orden:

• En primer lugar, tomando en cuenta la Ley de Signos, se procederán a sacar del paréntesis aquellos términos algebraicos que se encuentren dentro de él. Si solo se encuentra un signo, éste afectará los signos que están delante de cada término. Si por el contario existe un elemento abstracto (numérico o no numérico) que se encuentre multiplicando a todos los términos algebraicos que se están dentro del paréntesis, se deberá resolver dichas multiplicaciones para poder extraer los términos que están dentro del paréntesis.
• Seguidamente, se procederán a sacar todos los elementos que se encuentren dentro de los corchetes, tomando en cuenta para esto las mismas indicaciones y normas que se emplean en la resolución de los paréntesis.
• En tercer lugar, se extraerán aquellos términos que se encuentran dentro de las llaves.
• Así mismo, tomando en consideración las mismas leyes que se aplican en el caso de los paréntesis, se extraerán y resolverán aquellas operaciones concernientes a las barras.
• Una vez resueltos todos los signos de agrupación, se resolverán todas aquellas operaciones relacionadas con la multiplicación de términos.
• En seguida, se deberán abordar aquellas operaciones relacionadas con las divisiones.
• Seguirán entonces en orden de prioridad, las operaciones de suma.
• Finalmente, se abordarán y resolverán aquellas operaciones relacionadas con la resta de términos algebraicos, sobre todo si el resultado anterior a este último paso ha generado dos valores de distintos signos, los cuales deben ser restados, a fin de obtener un resultado final, que llevará -según la Ley de signos- el signo del valor mayor.

Leyes de la igualdad

En el Álgebra elemental las relaciones de igualdad entre los términos algebraicos también se encuentran regidas por una serie de normas, conocidas como Leyes de Igualdad, las cuales básicamente se pueden resumir en las siguientes propiedades:

• Si se tiene un término (a) que resulta igual a (b) es decir (a=b); y un segundo término (b) que resulta igual a (d), el cual se expresaría (b=d) se puede establecer entonces que la suma de (a) más (c) es igual a las sumas de (b) más (d), es decir (a+c = b+d). Así mismo, entre otra de las leyes, se puede establecer que el producto de (a) y (c) sería igual al producto de (b) y (d), por lo que entonces (ac=bd).
• Por otro lado, las Leyes de la Igualdad del Álgebra elemental dictan también que si dos términos son iguales, es decir si (a=b) entonces la suma de cada uno de ellos por un término (c) debería dar totales iguales: si a=b entonces (a+c = b+c).
• En contraparte, las Leyes de la Igualdad también hablan sobre la regularidad de la suma, señalando entonces que si (a+c= b+ c) entonces (a=b)
• En tercer lugar, las Leyes de la Igualdad especifican también que si se está en presencia de dos signos matemáticos iguales, uno de ellos puede ser sustituido o suprimido, usándose solo uno de ello.
• Finalmente, las Leyes de la Igualdad también abordan la regularidad condicional en la multiplicación, afirmando que si (a) por (c) es igual a (b) por (c) y si y solo si (c) no es igual a cero, se puede entender entonces que a=b. Lo cual puede expresarse también como a x c = b x c → c ≠ 0 → a=b.

Leyes de la desigualdad

Así también, dentro de las Leyes del Álgebra Elemental, se encuentran aquellas que están dirigidas a normar las relaciones de desigualdad entre los distintos términos, es decir, aquellas relaciones basadas en “mayor que” (>) o “menor que” (<). En este sentido, se pueden mencionar las siguientes:

• Las propiedades de las relaciones de desigualdad son transitivas, eso quiere decir que si se tiene un elemento (a) y este es menor que el elemento (b) y este a su vez es menor que un elemento (c) se concluye entonces que (a) es menor que (c). Lo cual podría expresarse de la siguiente manera:

si a < b y b < c → a < c

• Por otro lado, entre las Leyes de Desigualdad también está descrito que si (a) es menor que (b) y a la vez (c) es menor que (d) se puede entender que el total de (a) y (c) será menor que el total de (b) y (d). Expresado de otra forma, se tendrá:

si a<b y c<d → a+ c < b+d

• Igualmente, se tiene que si (a) es menor que (b) y además (c) es mayor que cero, se tendrá entonces que el producto de (a) y (c) es menor que el producto de (b) y (c). Es decir:

si a< b y c > 0 → ac < bc

• Finalmente, entre otro de las propiedades contempladas por las Leyes de la desigualdad del Álgebra elemental se tiene también que si (a) es menor que (b) y (c) es menor que cero, entonces el producto de (b) por (c) será menor que el producto de (a) y (c) lo cual puede ser expresado también de la siguiente forma:

si a<b y c<0 → bc < ac

Ley de signos

Por otro lado, el Álgebra Elemental también ha dictado normas con respecto a cómo se interrelacionan los distintos signos que acompañan a los términos algebraicos o independientes, lo cual se conoce generalmente como Ley de Signos. Al respecto ha promulgado que estos deben regirse por las siguientes propiedades, según cada operación matemática:

Si se trata de una operación de suma:

(+) + (+) = (+)

(+) + (-) = SVM (*)

(-) + (-) = (-)

(-) + (+) = SVM

Si se trata de una resta:

(+) – (+) = (+)

(+) – (-) = SVM

(-) – (-) = (-)

(-) – (+) = SVM

Si se trata de una multiplicación:

(+) . (+) = (+)

(+) . (-) = (-)

(-) . (-) = (+)

(-) . (+) = (-)

Si se trata de una división:

(+) ÷ (+) = (+)

(+) ÷ (-) = (-)

(-) ÷ (-) = (+)

(-) ÷ (+) = (-)

Imagen: flickr.com