Propiedad asociativa en la suma de monomios

Definiciones fundamentales

En este orden de ideas, será necesario entonces empezar por revisar la propia definición de monomio, a fin de tener en claro la naturaleza de las expresiones involucradas en la operación que responde a esta propiedad, al igual que será también pertinente traer a capítulo el concepto que maneja el Álgebra elemental sobre esta operación concerniente a los monomios. A continuación, estas definiciones:

Monomio

Por consiguiente, se puede comenzar por decir que la mayoría de las fuentes teóricas coinciden en concebir al monomio como una expresión algebraica elemental, constituida por una combinación de elementos abstractos numéricos (es decir, un número) y elementos abstractos literales (una letra) entre los que deben cumplirse obligatoriamente algunas condiciones para que puedan ser entendidos como monomios: en primer lugar, que el literal cuente en toda circunstancia con un exponente constituido por un número entero y positivo;  y en segunda instancia que la única operación admitida entre el número y la letra que conforman el término sea la multiplicación, quedando exentar estrictamente las operaciones de suma, resta o división.

Elementos del monomio

Igualmente, el Álgebra elemental ha indicado que en el monomio pueden distinguirse cuatro elementos esenciales, a los que les son atribuidas misiones o tareas específicas dentro del término, y que pueden ser descritas de forma breve de la siguiente manera:

• Signo: es el primer elemento que puede observarse en el monomio, en una lectura de izquierda a derecha. Su misión es acompañar al coeficiente, indicando si éste es positivo (+) o negativo (-).
• Coeficiente: constituye el elemento numérico del término, acompaña en todo momento a la variable, al tiempo que cumple la misión de señalar la cantidad por la que se deberá multiplicar esta, en caso de asumir un valor numérico.
• Literal: por su parte, como su nombre lo indica, el literal está constituido por una letra, cuya tarea es representar una cantidad que no se conoce, por lo que también recibe el nombre de incógnita, o variable.
• Grado: finalmente, el grado del monomio estará determinado por el valor del exponente al que se encuentra elevada la variable. La misión de este elemento es por lo general servir de guía, a fin de establecer clasificaciones u órdenes dentro de expresiones más complejas, como por ejemplo el polinomio.

Suma de monomios

Por otro lado, el Álgebra también arroja luces sobre la Suma de monomios, a la cual describe como una operación algebraica, cuyo principal objetivo es determinar o calcular el valor que resulta de la suma o adicción de dos monomios. No obstante, esta rama de la Matemática es enfática en señalar que para que la operación de Suma de monomios sea factible, ambos términos deben cumplir con la condición ineludible de ser semejantes, es decir, contar con igual literal (variable y exponentes).

Propiedad asociativa (Suma de monomios)

Vistas estas definiciones, será mucho más sencillo abordar la definición de la Propiedad asociativa en la Suma de monomios, la cual es vista como una de la Leyes o propiedades que rigen esta operación entre monomios, y que afirma que independientemente de cómo se asocien o agrupen los elementos de la suma, el resultado no presentará alteraciones. En este sentido, también se puede resaltar que para poder palpar el cumplimiento de esta propiedad, la Suma de monomios debe estar constituida por más de dos términos, a fin de poder ver las diferentes asociaciones que pueden establecerse. En cuanto a su expresión matemática, la Propiedad Asociativa responderá entonces a la siguiente forma:

(ax + bx) + cx =  ax + (bx+ cx)  =

Ejemplos de Propiedad asociativa en la Suma de monomios

No obstante, quizás la forma más eficiente de abordar la explicación de esta propiedad inherente a la Suma de monomios sea a través de la exposición de algunos casos concretos, que pueden servir de ejemplo a cómo realmente las distintas asociaciones de términos no causan una alteración en el resultado de la suma. A continuación, algunos de ellos:

3x² + 4x² + 5x² + 2x² =

(3x² + 4x²) + 5x² + 2x² = (7x²) + 5x² + 2x² = 14x²

3x² + (4x² + 5x²) + 2x² = 3x² + (9x²) + 2x² = 14x²

3x² + 4x² +(5x² + 2x²)= 3x² + 4x² +(7x²)= 14x²

8ab² + 3ab² + 4ab²=

(8ab² + 3ab²) + 4ab²= (11ab²) + 4ab²=  15ab²

8ab² + (3ab² + 4ab²) =8ab² + (7ab²)  =  15ab²

4x⁵ + 3x⁵ + 2x⁵ + 8x⁵ =

(4x⁵ + 3x⁵) + 2x⁵ + 8x⁵ =  (7x⁵) + 2x⁵ + 8x⁵= 17x⁵

4x⁵ + (3x⁵ + 2x⁵) + 8x⁵ = 4x⁵ + (5x⁵) + 8x⁵= 17x⁵

4x⁵ + 3x⁵ + (2x⁵ + 8x⁵)= 4x⁵ + 3x⁵ + (10x⁵)= 17x⁵

(4x⁵ + 3x⁵) + (2x⁵ + 8x⁵)= (7x⁵) + (10x⁵)= 17x⁵

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