Definición Diferencia Simétrica

En este sentido, qué mejor que detenerse un momento en revisar la propia definición de Diferencia Simétrica, la cual es entendida por el Álgebra de conjuntos como una operación básica en donde dos conjuntos dan origen a una tercera colección, conformada por aquellos elementos que se pueden encontrar en tan solo uno de los conjuntos. Explicado de otra manera, la Diferencia Simétrica –operación a la que resulta inherente la  Propiedad de Nilpotencia- ocurre cuando un conjunto A y un conjunto B conforman un tercer conjunto A ∆ B en donde se pueden contar como elementos aquellos que estando en A no pueden encontrarse en B, y viceversa.

Cómo realizar una operación de Diferencia Simétrica

Igualmente, el Álgebra de conjuntos ha señalado que –como ocurre en toda operación matemática- la Diferencia Simétrica también se desarrolla en base a una serie de pasos, que deben seguirse ordenadamente para así garantizar la obtención del resultado correcto. En cuanto a esta operación, se distinguen los siguientes pasos:

• En primera instancia, se deberá expresar la operación, para lo que se nombrará a cada conjunto, relacionándolos con el signo que expresa a la Diferencia simétrica: ∆.
• Seguidamente se colocarán uno frente al otro cada uno de los conjuntos, relacionándolos también con el signo ∆.
• Se compararán los elementos de cada uno de los conjuntos, identificando aquellos que aparecen uno de los conjuntos sin encontrar semejante en el otro conjunto. Con estos elementos se formará entonces el conjunto A∆B el cual puede ser tomado como el resultado final de la operación.

Propiedad de la Nilpotencia

Teniendo presenta la definición de Diferencia Simétrica, que es la operación a la que esta propiedad resulta inherente, será mucho más sencillo aproximarse a la definición y demás aspectos de la Propiedad de a Nilpotencia, la cual reza –de acuerdo a lo que señala el Álgebra de conjuntos- que siempre que un conjunto establezca una relación de Diferencia simétrica consigo mismo esta operación dará como resultado el Conjunto vacío:

A ∆ A= ∅

La explicación de lo que ocurre en la Propiedad de Nilpotencia reside precisamente en que, en el momento en que un conjunto establece una operación de Diferencia simétrica consigo mismo, no existirá ningún elemento que esté tan solo una vez en uno de los conjuntos, por lo que es una sola colección la que participa en la operación, por consiguiente, al tener que formar un tercer conjunto, éste no tendrá ni un solo elemento, de ahí que se interprete que el resultado es –y será siempre- el Conjunto vacío.

Ejemplo de Propiedad de Nilpotencia

Sin embargo, quizás todavía sea necesario la exposición de un ejemplo concreto, que sirva para ver cómo se cumple en la práctica lo que el Álgebra de conjuntos señala sobre la Propiedad de Nilpotencia en la Diferencia Simétrica. A continuación, este ejercicio.

Dado un conjunto A, constituido por nombres de frutas cítricas: A= {Naranja, Pomelo, Lima, Toronja, Mandarina} comprobar cómo se cumple la Propiedad de la Nilpotencia en la Diferencia simétrica.

Para cumplir con la solicitud de este postulado, será necesario que el conjunto dado establezca una operación de Diferencia Simétrica con él mismo, lo cual puede ser expresado de la siguiente manera:

A= {Naranja, Pomelo, Lima, Toronja, Mandarina}

A ∆ A=

A ∆ A= {Naranja, Pomelo, Lima, Toronja, Mandarina} ∆ {Naranja, Pomelo, Lima, Toronja, Mandarina}

Hecho esto, se deberán comparar cada uno de los elementos de los conjuntos que forman parte de la operación –en este caso el conjunto A- a fin de identificar si existe alguno que aparezca en el primero, pero no en el segundo. Con es de suponer, tratándose del mismo conjunto, esto resultará imposible, por lo que el conjunto generado contará con cero elementos, es decir será el Conjunto vacío:

A ∆ A= ∅

Por consiguiente, se puede considerar que se ha cumplido –y comprobado- a cabalidad la Propiedad de la Nilpotencia en la Diferencia Simétrica.

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