Definiciones fundamentales

Por consiguiente, dicha revisión debe tal vez enfocarse en dos conceptos principales: en primer lugar, la definición del Conjunto, pues esto permitirá tener clara la naturaleza del objeto protagonista de la operación de Diferencia Simétrica, pues es en ella en donde tiene lugar la Propiedad Distributiva que se estudiará. A continuación, cada una de estas definiciones:

Conjunto

De esta manera, se puede entonces comenzar por decir que el Conjunto ha sido definido por la disciplina matemática como una colección abstracta de elementos, a los cuales pueden atribuírseles al menos un rasgo en común, de ahí que también sean interpretados como pertenecientes a la misma naturaleza. Por otro lado, las Matemáticas también han señalado que estos elementos cumplen con la tarea de definir y constituir al conjunto de forma única y exclusiva. De igual forma, las Matemáticas han apuntado en referencia al Conjunto que este tipo de colecciones deben ser nombradas de acuerdo a alguna letra mayúscula, mientras que sus elementos siempre serán presentados como una lista o enumeración, separados por comas, y contenidos en su totalidad por dos signos de llaves { }.

Diferencia Simétrica

Así mismo, resulta importante revisar la definición de Diferencia Simétrica, la cual ha sido descrita por el Álgebra de conjuntos como una operación básica en donde dos o más conjuntos forman una colección, conformada por los elementos que se pueden encontrar sólo en uno de los conjuntos que participan de la operación. Es decir, para explicarlo en otras palabras, que la Diferencia Simétrica puede ser entendida como una operación en donde un conjunto A y un conjunto B forman un conjunto A∆B que estará constituido por todos aquellos elemento de A que no aparecen en B, así como por todos aquellos elementos de B que no pueden encontrarse en A.

Intersección de Conjuntos

Igualmente, se hace necesario traer a colación la definición de Intersección de Conjuntos, pues la Propiedad Distributiva que puede observase en la Diferencia Simétrica tendrá lugar en referencia a la Intersección. En este sentido, se puede decir que la Intersección –según lo que indica también el Álgebra de Conjuntos- puede ser tenida como una operación básica entre conjuntos, en donde dos o más colecciones forman un Conjunto en donde se pueden identificar como elementos todos aquellos que se pueden encontrar en cada uno de los objetos que participan de la operación.

Propiedad Distributiva en la Diferencia Simétrica

Teniendo estas definiciones presentes, será mucho más sencillo aproximarse entonces a la definición de la Propiedad Distributiva en la Diferencia Simétrica, la cual ha sido descrita –igualmente por el Álgebra de Conjuntos- como una propiedad matemática que, en referencia a la Intersección, dicta que siempre y en todo caso, la Intersección de un conjunto A con la Diferencia Simétrica de un conjunto B y un conjunto C será igual a la Diferencia simétrica de las respectivas Intersecciones que pueda establecer el conjunto A con B y con C. Con respecto a la expresión matemática de esta propiedad, puede encontrarse la siguiente forma:

A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)

Ejemplo de la Propiedad Distributiva en la Diferencia Simétrica

No obstante, tal vez la forma más eficiente de explicar esta propiedad matemática inherente a la operación de la Diferencia Simétrica sea a través de la exposición de un ejemplo en donde se pueda ver cómo se cumple dicha propiedad en la práctica, tal como el que se muestra seguidamente.

Dado un conjunto A, constituido por nombres de frutas en general: A= {Manzana, Ananá, Maracuyá, Banana, Fresa, Uva, Kiwi, Naranja, Pomelo}; un conjunto B, en donde puedan contarse como elementos nombres de frutas cítricas: B= {Naranja, Mandarina, Maracuyá, Pomelo, Lima, Limón} y un conjunto C, conformado por nombres de frutas cuyos nombres comiencen por la letra “m”: C= {Merey, Mamoncillo, Mango, Mandarina, Melón, Manzana} comprobar si se cumple o no la propiedad Distributiva, con respecto a la Intersección, en la Diferencia Simétrica.

A fin de cumplir con lo solicitado en el postulado de este ejercicio, se deberá comenzar por exponer la forma matemática de la Propiedad Distributiva, para así proceder a resolver cada una de las operaciones, y determinar si ciertamente se cumplen las equivalencias que ella promulga:

A= {Manzana, Ananá, Maracuyá, Banana, Fresa, Uva, Kiwi, Naranja, Pomelo}
B= {Naranja, Mandarina, Maracuyá, Pomelo, Lima, Limón}
C= {Merey, Mamoncillo, Mango, Mandarina, Melón, Manzana}

A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)

Primera operación: A ∩ (B ∆ C) =

B ∆ C= {Naranja, Mandarina, Maracuyá, Pomelo, Lima, Limón} ∆ {Merey, Mamoncillo, Mango, Mandarina, Melón, Manzana}
B ∆ C= {Naranja, Maracuyá, Pomelo, Lima, Limón, Merey, Mamoncillo, Mango, Melón, Manzana}

A ∩ (B ∆ C) = {Manzana, Ananá, Maracuyá, Banana, Fresa, Uva, Kiwi, Naranja, Pomelo} ∩ {Naranja, Maracuyá, Pomelo, Lima, Limón, Merey, Mamoncillo, Mango, Melón, Manzana}

A ∩ (B ∆ C) = {Manzana, Maracuyá, Naranja, Pomelo}

Segunda operación: (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)=

A ∩ B= {Manzana, Ananá, Maracuyá, Banana, Fresa, Uva, Kiwi, Naranja, Pomelo} ∩ {Naranja, Mandarina, Maracuyá, Pomelo, Lima, Limón}
A ∩ B= {Maracuyá, Naranja, Pomelo}

A ∩ C= {Manzana, Ananá, Maracuyá, Banana, Fresa, Uva, Kiwi, Naranja, Pomelo} ∩ {Merey, Mamoncillo, Mango, Mandarina, Melón, Manzana}
A ∩ C= {Manzana}

(A ∩ B) ∆ (A ∩ C)= {Maracuyá, Naranja, Pomelo} ∆ {Manzana}
(A ∩ B) ∆ (A ∩ C)= {Manzana, Maracuyá, Naranja, Pomelo}

Realizadas cada una de las operaciones, se deberán comparar resultados, para ver si realmente se han cumplido las equivalencias que señala la Propiedad Distributiva de la Diferencia Simétrica con respecto a la Intersección:

A ∩ (B ∆ C) = {Manzana, Maracuyá, Naranja, Pomelo}
(A ∩ B) ∆ (A ∩ C)= {Manzana, Maracuyá, Naranja, Pomelo}

Por ende se puede considerar comprobada esta propiedad:

A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)
{Manzana, Maracuyá, Naranja, Pomelo} = {Manzana, Maracuyá, Naranja, Pomelo}

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