Definiciones fundamentales

En este sentido, puede entonces que también resulte prudente delimitar dicha revisión a dos asuntos fundamentales: los Números enteros y la División de números enteros, por constituir correspondientemente los elementos y la operación en base a la cual se da esta Propiedad no conmutativa. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Números enteros

De esta forma, se comenzará a decir entonces que las Matemáticas han definido los Números enteros como aquellos elementos numéricos, que cumplen con la función de representar, siempre y sin excepción, cantidades enteras y exactas, es decir, que en estos números no hay cabida para números fraccionarios o que tengan expresiones decimales.

Así también, esta disciplina ha señalado que los Números enteros constituirán los elementos en base a los cuales se conforma el conjunto numérico de igual nombre, conocido también como conjunto Z, colección esta en donde los números enteros conformarán básicamente dos subconjuntos y un elemento, los cuales pueden ser descritos a su vez de la siguiente manera:

• Números positivos: en primer lugar, se encontrarán los números enteros positivos, los cuales conformarán el conjunto de los Números enteros, el cual será subconjunto de Z. Estos números se caracterizarán por estar ubicados en la Recta numérica a la derecha del cero. Con ellos se podrán contar los elementos de una colección, darles una posición, o también expresar una cantidad contable.
• Números negativos: por otro lado, el conjunto de los números enteros negativos será también un subconjunto de Z. Ellos se caracterizarán por ubicarse a la izquierda del cero, así como por ser considerados inversos de los números negativos. A través de estos números se podrá dar cuenta de la falta o ausencia de una cantidad.
• Cero: en cuanto al cero, este elemento no será considerado en sí mismo un número, por lo cual no podrá ser tomado ni como positivo ni como negativo. Así mismo, se considerará inverso de sí mismo. Gracias al cero, se podrá expresar la ausencia total de cantidad.

División de números enteros

Por otro lado, será también importante revisar el concepto de División de números enteros, la cual es entendida entonces como una operación matemática, que se establece cuando un número entero –que recibe el nombre de Dividendo- se da a la tarea de determinar cuántas veces se encuentra contenido en él un segundo número, también entero, el cual en cambio recibe el nombre de Divisor. El resultado por su parte, que no siempre será un número entero, se conocerá como Cociente.

Al momento de solucionar esta operación, tomando en cuenta que en el conjunto Z, coexisten tanto enteros positivos como enteros negativos, lo mejor –según aconsejan las fuentes matemáticas- será dividir los valores absolutos del Dividendo y el Divisor, para después dividir igualmente los signos de cada uno de ellos, según dicta la Ley de signos, acompañando el cociente con el resultado de esta operación de signos.

Propiedad no conmutativa de la División

Teniendo presente estas definiciones, quizás sí sea mucho más sencillo abordar el concepto de Propiedad no conmutativa en la División, la cual será entendida entonces como la ley matemática que señala que toda vez que se haya planteado una división, en la que participen números enteros, no podrá existir ninguna variación o alteración en el orden de los factores que participen, pues esto causará un cambio directo en el cociente de la operación.

En consecuencia, en el caso de la División de números enteros, el orden de los factores sí altera el producto, de ahí que se diga entonces que esta operación está regida por la Propiedad no conmutativa, la cual puede ser expresada matemáticamente de la siguiente forma:

a : b ≠ b : a

Ejemplo de la Propiedad no conmutativa en la División de números enteros

Sin embargo, tal vez la forma más eficiente de completar una explicación sobre esta propiedad matemática sea a través de un ejemplo, en donde se pueda ver de forma práctica cómo en una división de números enteros, al realizar una variación en el orden de los factores, se obtienen resultados diferentes, tal como se verá en el ejercicio que se presenta a continuación:

Resolver la siguiente operación:

8 : -2 =

Primer orden:

8 : -2=

|8| = 8
|-2|= 2

8: 2= 4
+ . – = –

8 : -2= -4

Segundo orden:

-2 : 8=

|-2|= 2
|8| = 8

2 : 8 = 0,25

– . + = –

-2 : 8= -0,25

Por lo tanto, la Propiedad no conmutativa de la división queda comprobada, puesto que al alterar el orden de los factores, se obtienen cocientes distintos, lo que lleva a concluir lo siguiente:

8 : -2 ≠ -2 : 8

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