Definiciones fundamentales

En este orden de ideas, surge entonces como necesario revisar la definición de Conjunto, a fin de poder tener presenta la naturaleza del objeto en base al cual tiene lugar la operación de Diferencia Simétrica. Así mismo, será pertinente revisar la propia definición de esta operación, pues es en ella donde puede distinguirse la propiedad sobre los conjuntos y subconjuntos. A continuación, cada uno de los conceptos:

Conjunto

Para empezar puede señalarse entonces que las Matemáticas optan por definir al Conjunto como una colección abstracta, constituida en base a elementos que comparte un rasgo en común, de ahí que puedan ser considerados un grupo perteneciente a la misma naturaleza, y un conjunto en sí mismo. Igualmente, esta disciplina indica cómo debe ser la manera de notación correcta para un Conjunto, la cual pasa por conferirle a la colección el nombre de una letra mayúscula, mientras que para sus elementos se opta por presentarlos en forma de listado, separado por comas, y contenido entre signos de llaves { }.

Diferencia simétrica

De igual forma, es necesario revisar la definición de Diferencia simétrica, la cual es entendida por el Álgebra de Conjuntos como una operación básica, en donde dos conjuntos conforman una tercera colección en donde pueden contarse como elementos todos aquellos que apareciendo en el primer conjunto que participa de la operación, no encuentran semejante en el segundo conjunto, y viceversa. Explicado en otras palabras, se puede decir entonces que en una operación de Diferencia simétrica, un conjunto A y un conjunto B forman un conjunto A∆B en donde están todos aquellos elementos de A que no aparecen en B, así como todos los elementos de B que no aparecen en A. Con respecto al signo que denota esta operación, el Álgebra de conjuntos ha señalado que es el ∆.

Propiedad sobre conjuntos y subconjuntos

A pesar de que el Álgebra de conjuntos no da un nombre específico sobre esta propiedad, la cual bien podría ser denominada “sobre conjuntos y subconjuntos en la Diferencia simétrica” sí refiere a que dentro de esta operación se puede distinguir una Ley que reza que cada vez que un Conjunto participa en una operación de Diferencia Simétrica con alguno de sus subconjuntos se generará un resultado idéntico del que se obtiene al realizar entre los dos conjuntos que han participado de la operación una operación de Diferencia (dos conjuntos A y B generan un conjunto A\\B en donde se encuentran todos los elementos de A que no pertenecen a B). Con respecto a la expresión matemática de esta propiedad, puede apuntarse la siguiente forma:

B ⊆ A → A ∆ B = A\\B

Ejemplo de Propiedad de conjuntos y subconjuntos

No obstante, quizás a forma más eficiente de abordar la explicación de esta Ley matemática, inherente a la operación de la Diferencia Simétrica sea a través de la exposición de un ejemplo, tal como el que puede verse a continuación:

Dado un conjunto A, conformado por frutas en general: A= {Maracuyá, Uva, Kiwi, Naranja, Durazno, Mandarina, Pera, Pomelo, Ciruela} y un conjunto B, en donde se puedan contar como elementos nombres de frutas cítricas: B= {Maracuyá, Naranja, Mandarina, Pomelo} comprobar cómo se cumple la Propiedad de conjuntos y subconjuntos en la Diferencia Simétrica.

Para cumplir con lo solicitado, se deberá expresar cuál es la propiedad que se quiere comprobar, a fin de que puedan comenzar a resolverse cada una de las operaciones que ella involucra:

A= {Maracuyá, Uva, Kiwi, Naranja, Durazno, Mandarina, Pera, Pomelo, Ciruela}
B= {Maracuyá, Naranja, Mandarina, Pomelo}

B ⊆ A → A ∆ B = A\\B

En primer lugar, se deberá comprobar que realmente el conjunto B es un subconjunto de A, para lo cual se deberá revisar ciertamente que todos los elementos de B se encuentran incluidos en A. Superado este paso, se deberá entonces resolver las operaciones de Diferencia Simétrica y de Diferencia entre estos conjuntos, de manera de poder comprobar si realmente se alcanza el mismo resultado en estas dos operaciones, cuando B es un subconjunto de A (B ⊆ A)

A ∆ B =
A ∆ B =  {Maracuyá, Uva, Kiwi, Naranja, Durazno, Mandarina, Pera, Pomelo, Ciruela} ∆ {Maracuyá, Naranja, Mandarina, Pomelo}

A ∆ B = {Uva, Kiwi, Naranja, Durazno, Pera, Ciruela}

A\\B=

A\\B=  {Maracuyá, Uva, Kiwi, Naranja, Durazno, Mandarina, Pera, Pomelo, Ciruela} \\ {Maracuyá, Naranja, Mandarina, Pomelo}

A\\B=  {Uva, Kiwi, Naranja, Durazno, Pera, Ciruela}

En efecto, siendo B un subconjunto de A, se ha podido alcanzar iguales resultados a través de la operación de Diferencia Simétrica y de Diferencia, por lo que ha podido ser comprobada la Propiedad sobre Cojuntos y Subconjuntos. Por ende, se puede decir entonces:

B ⊆ A → A ∆ B = A\\B

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