Propiedad transitiva del Subconjunto

Definiciones fundamentales

En este sentido, se puede abordar en primera instancia la definición de Conjunto, ya que esto permitirá tener entonces clara la naturaleza del objeto sobre el cual se establece la noción de Subconjunto, definición que deberá ser también abordada. Así mismo, resultará pertinente reflexionar sobre el concepto de Propiedad Transitiva, pues esto ayudará a entender los procesos involucrados en la aplicación de esta ley en el subconjunto. A continuación, los conceptos:

Conjunto

En consecuencia, se puede comenzar diciendo entonces que las Matemáticas definen de forma general al Conjunto como una agrupación de elementos, entre los cuales se puede identificar un elemento en común, es decir, que se pueden concebir como arropados por la misma naturaleza, de ahí que también puedan ser entendidos entonces como una colección abstracta. Así mismo, las distintas fuentes teóricas han señalado que la principal característica del Conjunto es el encontrarse conformado y definido, de forma única, exclusiva y permanente por sus elementos. Es decir, que los elementos del conjunto son los únicos con la capacidad de conformar y definir al conjunto.

Subconjunto

Por su parte, el Subconjunto es visto como una colección abstracta de elementos, es decir, un Conjunto, que se encuentra contenido de forma plena en otra agrupación. De esta manera, cuando se habla de Subconjunto se trata de un conjunto, donde cada uno de sus elementos forman parte de otra colección, casi siempre mucho más grande. Por lo general, a la hora de identificar un  subconjunto, bastará con comparar cada uno de los elementos de las colecciones involucradas, a fin de ver si alguna contiene por completo a la otra. Sin embargo, las fuentes matemáticas señalan que dado el caso también se puede establecer entre los conjuntos una operación de Intersección, cuyo resultado coincidirá de forma plena con la colección que es subconjunto de otra. En cuanto a la expresión matemática de esta relación, las diferentes fuentes matemáticas señalan:

B ⊆ A

Propiedad transitiva

Por último, puede que sea pertinente revisar también la definición de Propiedad transitiva, principio o Ley matemática que reza, para vario tipo de operaciones, que siempre que un elemento establece una relación con un segundo elemento, que se encuentra a su vez relacionado con un tercer objeto o elemento, matemáticamente se puede decir que en realidad el primer objeto o elemento se encuentra relacionado también con el tercero.

Propiedad transitiva en el Subconjunto

Teniendo estas definiciones presentes, puede que sea mucho más sencillo aproximarse al contenido de la Propiedad Transitiva en el subconjunto, la cual promulga específicamente que siempre que un conjunto A pueda ser identificado como subconjunto de B, y a su vez B haya sido determinado como un subconjunto de C, debido a la Propiedad Transitiva, entonces se podrá considerar a A como un subconjunto de C. La expresión matemática de esta Ley puede tener la siguiente forma:

Si A ⊆ B y B ⊆ C → A ⊆ C

Ejemplo de Propiedad Transitiva en el Subconjunto

No obstante, puede que la forma más eficiente de abordar la explicación de esta propiedad matemática, sea a través de la exposición de un caso concreto, que pueda servirle de ejemplo, como este que se muestra a continuación:

Dado un conjunto A, en donde pueda contarse como elementos nombres femeninos que terminen en la letra por la letra “a”: A= {Bertha, Begoña, Bárbara}; un conjunto B, constituido por nombres femeninos que comiencen por la letra “b”: B= {Belén, Bertha, Begoña, Bárbara, Belinda, Betsy, Brenda} y un conjunto C, conformado por nombres femeninos en general: C= {Adriana, Belén, Bertha, Carlota, Carmela, Begoña, Bárbara, Erika, Emilia, Belinda, Betsy, Paula, Cecilia, Brenda}. Determinar si entre estos tres conjuntos se cumple la Propiedad Transitiva:

A fin de cumplir con el postulado de este ejercicio, será necesario traer a capítulo la expresión matemática de esta propiedad, a fin de ir cumpliendo con las distintas operaciones y relaciones que en ella se establecen, a fin de comprobar si la ley se cumple o no:

Si A ⊆ B y B ⊆ C → A ⊆ C

En primera instancia, será necesario establecer entonces si ciertamente A es un subconjunto de B, por lo que será necesario someter ambas colecciones a una operación de intersección, a fin de comprobar si el resultado de esta operación es equivalente al conjunto A:

A= {Bertha, Begoña, Bárbara}
B= {Belén, Bertha, Begoña, Bárbara, Belinda, Betsy, Brenda}

A ∩ B=

A ∩ B= {Bertha, Begoña, Bárbara} ∩ {Belén, Bertha, Begoña, Bárbara, Belinda, Betsy, Brenda}

A ∩ B= {Bertha, Begoña, Bárbara}

A ∩ B= A

{Bertha, Begoña, Bárbara} = {Bertha, Begoña, Bárbara}

Al hacerlo, se puede comprobar entonces que en efecto A es un subconjunto de B: A ⊆ B. Seguidamente, se seguirán los pasos que lleven entonces a verificar si también se puede decir que B sea un subconjunto de C, por lo que igualmente se establecerá entre ellos una operación de intersección:

B= {Belén, Bertha, Begoña, Bárbara, Belinda, Betsy, Brenda}
C= {Adriana, Belén, Bertha, Carlota, Carmela, Begoña, Bárbara, Erika, Emilia, Belinda, Betsy, Paula, Cecilia, Brenda}

B ∩ C=
B ∩ C= {Belén, Bertha, Begoña, Bárbara, Belinda, Betsy, Brenda} ∩ {Adriana, Belén, Bertha, Carlota, Carmela, Begoña, Bárbara, Erika, Emilia, Belinda, Betsy, Paula, Cecilia, Brenda}

B ∩ C= {Belén, Bertha, Begoña, Bárbara, Belinda, Betsy, Brenda}

B ∩ C= B
{Belén, Bertha, Begoña, Bárbara, Belinda, Betsy, Brenda} = {Belén, Bertha, Begoña, Bárbara, Belinda, Betsy, Brenda}

Al comparar estos resultados, se tiene entonces que B puede ser entendido a su vez como un subconjunto de C: B ⊆ C Igualmente, se deberá comprobar finalmente si también A puede ser considerado un subconjunto de C:

A= {Bertha, Begoña, Bárbara}
C= {Adriana, Belén, Bertha, Carlota, Carmela, Begoña, Bárbara, Erika, Emilia, Belinda, Betsy, Paula, Cecilia, Brenda}

A ∩ C=
A ∩ C= {Bertha, Begoña, Bárbara} ∩ {Adriana, Belén, Bertha, Carlota, Carmela, Begoña, Bárbara, Erika, Emilia, Belinda, Betsy, Paula, Cecilia, Brenda}

A ∩ C= {Bertha, Begoña, Bárbara}
A ∩ C= A
{Bertha, Begoña, Bárbara} = {Bertha, Begoña, Bárbara}

En efecto, se puede comprobar también que A es un subconjunto de C:  A ⊆ C, última relación que lleva a la conclusión de que en este caso en específico se ha logrado comprobar totalmente la Propiedad Transitiva en el Subconjunto, puesto que se han cumplido cada uno de sus postulados:

Si A ⊆ B y B ⊆ C → A ⊆ C

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