Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que resulta pertinente comenzar por la propia definición de Conjunto, a fin de poder tener presente la naturaleza de este objeto matemático. Así mismo, es de gran importancia revisar de forma breve el concepto de Conjunto Universal, pues esto permitirá tener presente su definición. A continuación, cada una de estas definiciones:

Conjunto

En primer lugar, entonces, se comenzará por decir que el Conjunto ha sido concebido por las Matemáticas como una agrupación de elementos, entre los cuales puede identificarse un rasgo en común, de ahí que sean entendidos como elementos que responden a una naturaleza, así también como una colección abstracta. Por otro lado, esta disciplina también ha señalado que respecto al Conjunto se le puede considerar como poseedor de una característica única: estar conformado y definido, de forma única y exclusiva, por los elementos que lo constituyen. Así también, el Álgebra de Conjuntos ha señalado que estas colecciones deben responder a una forma de notación específica, la cual consiste básicamente en nombrar al Conjunto con el nombre de una letra mayúscula, mientras que sus elementos deberán ir comprendidos entre signos de llaves, mientras son presentados como una enumeración, separados por comas.

Conjunto Universal

Por otro lado, la Teoría de Conjuntos se ha dado a la tarea de definir al Conjunto Universal, colección abstracta que ha sido señalada como aquella que contiene de forma plena, todos y cada uno de los elementos de un contexto específico, a fin de servir de referencia en un ejercicio o situación determinada, de hecho este tipo de conjunto es conocido también como Conjunto referencial. Así mismo, la Teoría de Conjuntos ha indicado que el Conjunto Universal, es decir, el universo de elementos que contiene, es decidido según las intenciones y necesidades de quien lo plantea, es decir, que es elegido por conveniencia. Con respecto a su notación, esta corresponderá a las normas asumidas por todos los conjuntos, siendo nombrados por la letra U, aun cuando también existen otras corrientes, que prefieren nombrarlo con respecto a la letra V.

Propiedades del Conjunto Universal

Teniendo estas definiciones presentes, quizás resulte mucho más práctico entender la naturaleza del Conjunto Universal, así como cada una de las propiedades matemáticas que de él se desprenden, y que pueden ser descritas de la siguiente manera:

Con respecto al subconjunto de U

La primera propiedad matemática de la cual habla la Teoría de Conjuntos, con respecto al Conjunto Universal va dirigida a su subconjunto. En este sentido, las fuentes teóricas afirman entonces que una vez se ha establecido el Conjunto Universal, así como un conjunto dado, éste último siempre y en todo caso podrá ser considerado como subconjunto de A. De hecho, todo conjunto que se establezca, teniendo como referencia al Conjunto Universal será entendido como un subconjunto de él. Esta propiedad puede expresarse según la siguiente forma:

A ⊆ U

Sobre el elemento absorbente respecto a la Unión

Así mismo, la Teoría de Conjuntos establece que siempre que el Conjunto Universal establezca una operación de Unión con alguno de sus conjuntos dados, se podrá considerar al Conjunto Universal como el elemento absorbente, puesto que el resultado será siempre el propio Conjunto Universal, es decir, que absorbe al conjunto A. Esta propiedad podrá ser expresada entonces de la siguiente manera:

A ∪ U= U

Sobre el Conjunto Universal como elemento neutro

De igual forma, la Teoría de Conjuntos señalan que el Conjunto Universal cuenta con la propiedad de fungir como Elemento Neutro respecto a la Intersección. En consecuencia, siempre que se establezca una operación de Intersección entre el Conjunto Universal y uno de sus subconjuntos, la respuesta será dicho conjunto dado, por lo que se señala entonces al Conjunto Universal como un elemento neutro. Por su parte, esta ley matemática podrá ser expresada de la siguiente forma:

A ∩ U = A

Conjunto Universal como referencia para el Conjunto Complementario

En este orden de ideas se puede decir también que la Teoría de Conjuntos señala que el Conjunto Universal se deberá establecer, en el caso de querer encontrar el Conjunto complementario de una colección determinada, a fin de usarlo como referencia, pues para hallar el complementario, entonces se efectuará una operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y el Conjunto dado, lo cual podrá expresarse así:

A^∁ = U \\ A

Dentro de este contexto, también se puede hacer mención a la relación de complementariedad que se establece entre el Conjunto vacío y el Conjunto Universal, la cual –según indica el Álgebra de Conjuntos- puede ser concebida en dos instancias: La primera que señala que siempre y en todo caso el Conjunto Universal será complementario del Conjunto Vacío: U^∁ = ∅; mientras que en el sentido inverso, el Conjunto vacío podrá ser entendido siempre como el complemento del Conjunto Universal: ∅^∁ = U.

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