Definiciones fundamentales

En este sentido, resulta pertinente abordar entonces algunos conceptos que permitirán tener presente en qué consisten tanto los polinomios como los binomios, e incluso las operaciones que pueden surgir entre ellos a este respecto:

Monomio

Por consiguiente, la primera definición que se tomará en cuenta será la del propio monomio, el cual es definido por el Álgebra como una expresión elemental, consistente en el producto entre un elemento abstracto numérico (un número) y un elemento abstracto no numérico (una letra o variable) el cual se encuentra elevado siempre a un número entero y positivo. Así mismo, esta disciplina matemática ha señalado que el monomio se encuentra conformado básicamente por cuatro elementos:

• Signo: símbolo que acompaña al elemento numérico, señalando su naturaleza (positiva o negativa).
• Coeficiente: constituido por el elemento numérico. Su misión es indicar cuál es la cantidad por la que se debe multiplicar la variable, en caso de que esta asuma un valor numérico.
• Variable: conocido también como literal, este elemento está conformado por una letra, la cual cumple con la misión de representar un número que no se conoce o está por conocerse.
• Grado: finalmente, el grado del monomio estará constituido por el exponente al que se encuentre elevado el literal. Para que el término se considere un monomio como tal, este exponente, es decir, el grado, debe ser un número entero y positivo.

Polinomio

Por otra parte, el Álgebra elemental también lanza luces sobre el concepto de Polinomio, expresión algebraica compleja que es definida, según las distintas fuentes teóricas, como una suma finita de monomios y términos independientes. Igualmente, el Álgebra elemental distingue cuatro elementos esenciales, los cuales son definidos a su vez de la siguiente forma:

• Términos: nombre que reciben cada uno de los sumandos del polinomio.
• Término independiente: en cuanto al término independiente, este puede ser definido como el elemento numérico en donde no puede verse presencia de elementos literales, es decir, de variables.
• Coeficientes: así mismo, el coeficiente será definido como aquel elemento numérico que se encuentra acompañando a las variables de cada término.
• Grado: por último, el grado del polinomio será equivalente al mayor grado observado en uno de sus términos.

Binomio

De igual forma, el Álgebra elemental señala que los polinomios reciben distintos nombres, de acuerdo a la cantidad de términos que puedan contarse en la expresión algebraica. Dentro de ellos, se puede distinguir entonces el binomio, el cual puede ser definido como el polinomio que cuenta con dos términos, bien si se trata de dos monomios, o incluso de un monomio y un término independiente.

Orden del polinomio

En último lugar, es importante también llamar la tensión sobre el Ordenamiento del polinomio, operación algebraica destinada a disponer los términos del polinomio de acuerdo al valor de los grados de sus términos, teniendo dos posibilidades básicas: Ascendente, si el polinomio cuenta con un orden de términos que se despliegan desde el término de menor grado hasta el de mayor; y Descendente, cuando por el contrario la disposición es hecha desde el término de menor grado hasta el mayor de ellos. Para esta operación, se considerará que el término independiente es de grado cero.

Regla de Ruffini

Revisados estos conceptos, será entonces mucho más sencillo comprender la Regla Ruffini, la cual es considerada por el Álgebra elemental como un método algebraico para dividir cualquier tipo de polinomio entre un binomio (es decir, un polinomio de dos términos) que cuente con la forma x+r. De acuerdo a las fuentes teóricas, este método fue descrito por primera vez en el año 1809 por el matemático Paolo Ruffini, quien logró elaborar este método de división sintética, por medio de la cual se lograba con dividir el polinomio con facilidad, siempre y cuando el divisor pudiese ser considerado un factor lineal. Igualmente, la teoría indica que la Regla de Ruffini es el método adecuado para identificar las raíces de los polinomios, a fin de poder factorizarlo luego en binomios x+r

Pasos para cumplir con la Regla de Ruffini

Como siempre que se trata de una operación algebraica, la Regla de Ruffini implica una serie de pasos que deben cumplirse a fin de llegar al resultado deseado, en este caso: hallar el cociente y el resto inherente a la división de cualquier tipo de polinomio y un binomio de forma x + r:

• En el momento de comenzar la operación se deberán revisar ambas expresiones, a fin de determinar si se tratan en efecto de polinomios y de binomios que respondan a la forma exigida por el método de la Regla de Ruffini.
• Seguidamente, cuando ya se ha comprobado que ambas expresiones cumplen con los requisitos solicitados, se procede entonces a ordenar el polinomio, escogiendo por lo general el orden descendente.
• Cuando se tenga el polinomio organizado, se tomarán solamente los coeficientes de los términos del polinomio, incluido el término independiente, y se colocarán en una fila de izquierda a derecha, dejando espacios en blanco para los términos que falten, en caso de que sea un polinomio incompleto.
• Se colocará a la izquierda de esta fila, conformada por los coeficientes del polinomio dividendo, el signo de galera.
• Del lado izquierdo de esta galera, se colocará el término independiente del binomio, que ha asumido el papel de divisor, colocándolo con su signo inverso.
• Se multiplica este término independiente por el primer coeficiente del polinomio, y se anota en una segunda fila, justo por debajo de la primera, y a partir del lugar que ocupa el segundo coeficiente.
• Se resta entonces el segundo coeficiente y el producto del término independiente del monomio por el primer coeficiente.
• Se multiplica el término independiente del binomio por el resultado de la resta anterior, y se anota igualmente en la segunda fila, en el lugar que corresponde al cuarto coeficiente.
• La operación se repite hasta alcanzar a todos los términos. La tercera fila que se ha conseguido en base a estas multiplicaciones será tomada como cociente, a excepción de su último término, que será considerado como el resto de la división.
• Se expresa el resultado, acompañando a cada coeficiente de la variable y el grado que le corresponden, empezando a expresarlos con un grado menos al que tenían originalmente.

Ejemplo de Regla de Ruffini

Sin embargo, quizás la mejor forma de entender este método algebraico sea a través de la exposición de un ejemplo que pueda servir para ver cómo se colocan en práctica cada uno de los pasos estipulados por esta regla. A continuación, la división de un polinomio y un binomio de tipo x+n, a través de la Regla Ruffini:

Realizar la siguiente división usando la Regla Ruffini →  2x – 3x⁵ + 5x⁴ – 9x² – 4 :  x + 3

Lo primero que debe hacerse será comprobar que en efecto ambas expresiones algebraicas cumplen con las características exigidas por este método. Al hacerlo se puede ver que en efecto se trata de un polinomio (suma finita de monomios y términos independientes) y un monomio de forma x+r. Así mismo, puede observarse que el polinomio se encuentra desordenado, por lo que se deberá disponer de forma descendente. Igualmente se puede ver que es un polinomio incompleto, por lo que al ordenarlo se deberán respetar los espacios que corresponden a los grados que el polinomio no tiene:

2x – 3x⁵ + 5x⁴ – 9x² – 4 → – 3x⁵ + 5x⁴             – 9x² + 2x– 4

 Hecho esto, se deberá entonces disponer los elementos en base a la galera: de lado derecho una fila con los coeficientes del polinomio; de lado izquierdo el término independiente del monomio, el cual es anotado con su signo contrario. Se comienza a multiplicar el inverso del término independiente del divisor por el primer coeficiente, obteniendo un resultado que se anota en una segunda fila y debajo del segundo coeficiente, a fin de sumarlos. El resultado se multiplica por el término independiente del binomio,  y así sucesivamente, hasta hallar el final:

                    Se expresa el resultado, devolviéndole a los coeficientes sus literales, y tomando el último término como el resto.

Cociente: – 3x⁴ + 14x³ -42x² +117x -349
Resto: 1043

Si quisiera comprobarse que realmente este es el resultado de dividir este polinomio entre este binomio, bastaría con utilizar el método tradicional de división de polinomios, tal como se muestra a continuación:

                                                            – 3x⁵ + 5x⁴             – 9x² + 2x– 4  :   x + 3

– 3x⁵ : x =  -3x⁴
-3x⁴ . (x + 3) = -3x⁵ – 9x⁴→ -(-3x⁵ – 9x⁴) → 3x⁵ +9x⁴

14x⁴: x=  14x³
14x³ . (x+3) = 14x⁴ +42x³  → – (14x⁴ +42x³)  → – 14x⁴ – 42x³

 

– 42x³: x= -42x²
-42x² . (x +3) = -42x³ – 126x² → -(-42x³ – 126x²) → 42x³ + 126x²

117x² : x = 117x
117x . (x + 3)= 117x² + 351x → -(117x² + 351x) → -117x² – 351x

-349x: x=  -349
-349 . (x + 3) = -349x – 1047 → -(-349x – 1047) → 349x +1047

Cociente: -3x⁴+ 14x³ -42x² + 117x-349
Resto: 1043

Al revisarse ambos resultados, se puede ver cómo coinciden entre ellos. Por lo tanto, se concluye que la Regla de Ruffini es el método más práctico y rápido para conseguir dividir cualquier clase de polinomios entre binomios de forma x+r.

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