Relación inversa (Álgebra)

Definiciones fundamentales

En este sentido, tal vez sea pertinente empezar por la propia definición de Conjunto, a fin de tener presente la naturaleza del objeto, en base al cual se establecen este tipo de relaciones. Así mismo, será importante aproximarse a las definiciones de Relaciones algebraicas binarias, Dominio y Rango, pues este concepto se encuentra estrechamente relacionado con el concepto de Relaciones algebraicas inversas. A continuación, cada  una de ellas:

Conjunto

Con respecto a la definición de Conjunto, las Matemáticas lo han explicado como un tipo de objeto, constituido por una agrupación de elementos, que siendo todos pertenecientes a una misma naturaleza, se reúnen en forma de colección abstracta, en base a ese o esos elementos en común. Así mismo, esta disciplina ha señalado que los elementos cuentan con la propiedad de definir de forma única y exclusiva a los conjuntos a los cuales pertenecen.

Relaciones algebraicas binarias

Por su parte, las Relaciones algebraicas binarias serán comprendidas como todo tipo de relación en la que los elementos de un conjunto primero –bien si son todos o solo algunos de ellos- establecen relaciones con los elementos de un conjunto segundo, conformando entonces a su vez un conjunto de pares ordenados, los cuales pueden ser identificados a su vez como subconjuntos del producto cartesiano de dichos conjuntos: A R B → R ⊂ A x B.

Dominio

Así mismo, las Matemáticas apuntan a que el Dominio puede ser considerado como el subconjunto constituido por cada uno de los elementos del conjunto primero que establecen relación con los elementos del conjunto segundo. De igual forma, dentro de la expresión de los pares ordenados que conforman las relaciones binarias, el Dominio será considerado como cada uno de los primeros elementos de dichos pares.

Rango

También conocido como Recorrido, el Rango constituirá por su parte un subconjunto constituido por cada uno de los elementos del conjunto segundo que ha llegado a establecer algún tipo de relación con el conjunto primero. Por consiguiente, en la expresión de los pares ordenados que conforman las relaciones binarias entre dos conjuntos, el Rango será conformado por todos los segundos elementos de los pares que se generan en base a la relación.

Relaciones inversas

Teniendo presente estas definiciones, probablemente sí sea mucho más sencillo aproximarse a la definición de Relaciones inversas, las cuales son entendidas como las relaciones algebraicas que suceden en sentido contrario. Es decir, por lo general, las relaciones binarias serán entendidas como A → B:

En donde entonces, los elementos de A se relacionan con B, dando origen a las siguientes relaciones binarias:

R= {(2,1); (4,5); (8,7)}

Así mismo, de esta relación se inferirán tanto el Dominio como el Rango:

dom(R): {2, 4, 8}
rang (R): {1, 5, 7}

Sin embargo, en el caso de las Relaciones inversas, este tipo de relación binaria será expresada en su forma R^-1  haciendo entonces que los conjuntos inviertan sus posiciones originales, así como que el Dominio ocupe el lugar del Rango, y el Rango del Dominio, dando como resultado también una relación en donde los pares ordenados son inversos, tal como se muestra a continuación:

De esta forma, mientras que la relación binaria sería de forma A R B, la relación inversa sería B R^-1 A.

Igualmente, en el caso de los pares ordenados que se generarían, se encontrarían los siguientes:

R^-1= {(1,2); (3,6); (7,8)}

Imágenes: elpensante.com