Relaciones básicas entre conjuntos y elementos

Definición de conjunto

En este sentido, las Matemáticas definen al Conjunto como la agrupación o colección de elementos que pueden considerarse arropados por la misma naturaleza, es decir que se pueden considerar como un conjunto, el cual a su vez puede ser considerado como un objeto en sí mismo. Así mismo, las Matemáticas señalan que un conjunto está definido por los elementos que lo conforman, y no por la forma en que estos son presentados.

Ejemplos de conjuntos

Por consiguiente, se puede tener como ejemplos de conjuntos las siguientes colecciones de elementos, cuya característica esencial debe ser la de pertenecer todos a la misma categoría, clase o naturaleza, tal como se muestra a continuación:

1.- Se puede considerar un conjunto, por ejemplo a una colección de frutas, en donde todos los elementos cumplan con el criterio de ser elementos comestibles que cuenten con semillas.

A = {Guayaba, Papayuela, Níspero, Naranja, Mandarina, Pomelo, Limón}

2.- Así mismo, otro ejemplo de conjunto puede ser una colección hecha en base a colores, lo cual puede responder a una agrupación en donde el único criterio sea que pertenezcan a la categoría de colores:

B = {Violeta, Azul, Rojo, Amarillo, Verde}

O que por el contrario, además de cumplir con la categoría de pertenecer a la categoría de colores, puedan responder también a una subcategoría, como por ejemplo, los colores cálidos:

C= {Rojo, Naranja, Rojo-Amarillo, Marrón}

Relaciones básicas entre conjuntos y elementos

Por otra parte, las Matemáticas también señalan que entre los elementos y los conjuntos se establecen un grupo de relaciones, constituidas por la pertenencia, la coincidencia o incluso la diferencia entre los elementos y las agrupaciones de estos. Entre ellas, se pueden distinguir las siguientes:

Pertenencia

Es conocida como una de las relaciones relativas más básica inherente a los conjuntos, la cual es consistente en la cualidad que tiene un elemento x de pertenecer a un conjunto determinado. Así también, se denota con el signo ∈, pudiendo expresarse entonces como x ∈ A. Un ejemplo de esto, se puede encontrar en el siguiente conjunto:

A = {q, r, s, t, v}

De cuyos elementos se puede decir:

q ∈ A
r ∈ A
s ∈ A
t ∈ A
v ∈ A

Igualdad

Así mismo, las fuentes teóricas señalan entre las relaciones básicas que pueden establecerse en cuanto a los conjuntos y sus elementos también pueden establecerse relaciones de igualdad, la cual surge cuando dos conjuntos coinciden de forma total y absolutamente en todos y cada uno de sus elementos. Por ejemplo:

Dado el conjunto A = {a, b, c, d, e} y el conjunto B= {a, b, c, d, e} se puede proceder a revisar cada uno de sus elementos, encontrando que estos coinciden totalmente, por lo que el conjunto A puede considerarse como igual del conjunto B. No obstante, se podría tener también un conjunto A= {a, b, c, d, e} y un conjunto B= {b, d, e, a, c} los cuales aun cuando no cuenten con la misma disposición, debido al principio de extensionalidad –el cual afirma que un conjunto está determinado por los elementos que lo conforman y no por su presentación- se puede considerar que ambos conjuntos son iguales.

Inclusión

Finalmente, se puede mencionar la relación de Inclusión, en donde básicamente un conjunto A, puede presentar un subconjunto, es decir, un grupo de elementos, que aun cuando comparten parte de su naturaleza con todos los elementos que conforman el conjunto A, a la vez cuentan entre sí con características específicas, que les permiten ser agrupados entre sí, como un subconjunto B, que se encuentra incluido en el conjunto A. Su forma de notación será: B ⊆ A

Un ejemplo de este tipo de relación entre conjuntos lo puede constituir por ejemplo un conjunto A, en el cual se reúna un conjunto de elementos, denominados instrumentos musicales, cuyo criterio de agrupación es básicamente la cualidad de ser diseñados para la producción de música.

A = {Violín, Batería, Piano, Guitarra, Maracas, Bajo, Tambor, Flauta, Clarinete}

Sin embargo, en estos elementos agrupados por su naturaleza de instrumentos musicales, se pueden encontrar algunos que coinciden en otra categoría, como por ejemplo la de ser instrumentos musicales de cuerdas, lo cual originaría un subconjunto B:

B = {Violín, Guitarra, Bajo}

El cual se puede considerar como un subconjunto de A, es decir que B se encuentra incluido en A (B ⊆ A)

Así mismo, si se vuelve sobre el conjunto A, se puede observar que dentro de sus elementos, se puede encontrar un segundo subconjunto, el cual responda a la categoría de instrumentos musicales de percusión, y que vengan a su vez a conformar la siguiente sub-colección:

C = {Batería, Maracas, Tambor}

Considerándose igualmente que el subconjunto C se encuentra incluido en A (B ⊆ A)

Imagen: wikipedia.org