Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que lo mejor sea delimitar esta explicación teórica a cuatro definiciones específicas: Razones, Proporciones, Magnitudes, Magnitudes inversamente proporcionales y Repartos directamente proporcionales, por encontrarse directamente relacionadas con el procedimiento que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Las razones

De esta manera, se comenzará por decir que las Razones serán consideradas por las Matemáticas como un tipo de expresiones, que dan cuenta del cociente entre dos números, es decir, de la cantidad de veces que se encuentra contenido un Divisor dentro de un Dividendo. Algunos ejemplos de Razones serán las siguientes:

Con respecto a su estructura, la disciplina matemática señala que las Razones estarán conformadas por dos elementos: el Antecedente, el cual constituye el ámbito superior de la razón, cumpliendo con la tarea de señalar el Dividendo; así mismo, en la Razón podrá encontrarse el Consecuente, el cual será el elemento que ocupe el ámbito inferior de esta expresión, al tiempo que señala el Divisor de la División que conduce al Cociente que indica la Razón.

Así mismo, las Matemáticas señalan la importancia de no confundir las Razones con las Fracciones, pese al parecido que estas expresiones tienen en cuanto a su estructura, por tratarse de realidades de matemáticas distintas. En tal sentido, las Matemáticas señalan que las Razones –conformadas por el Antecedente y Consecuente- refieren al Cociente entre dos números, mientras que las Fracciones –constituidas por el Numerador y el Denominador- señalan cuántas partes se han tomado de una unidad dividida a su vez en varias partes.

Proporciones

Por otro lado, también será necesario tener en cuenta el concepto de Proporciones, las cuales han sido explicadas por las Matemáticas como la relación de igualdad que existe entre dos razones, es decir, las Proporciones serán dos razones que den cuenta del mismo cociente. A continuación, un ejemplo de esta relación:

En este caso, se puede ver cómo pese a que ambas razones no cuentan con ningún valor que coincida entre ellos, sí son proporcionales o iguales, puesto que si se resolvieran las divisiones que plantean, se obtendrá el mismo cociente, es decir, que ambas razones expresan iguales cocientes.

Sin embargo, esta no es la única forma que tienen las Matemáticas para determinar si dos razones son o no proporcionales, sino que también se podrá emplear el método de los extremos y los medios. Para esto será necesario multiplicar entre sí los extremos –constituidos el Antecedente de la primera expresión y el Consecuente de la segunda razón- y los medios –conformados por el Antecedente de la primera expresión y el Consecuente de la segunda razón. Si estos productos coinciden entre sí, se considerará entonces que las razones son proporcionales:

Este rasgo de las razones iguales es considerado como una de las Leyes de la proporción, la cual resulta bastante útil a la hora de conocer alguno de los elementos de las razones proporcionales que pudieran resultar desconocidos. Para esto será necesario simplemente realizar una operación de Regla de Tres Simple Directa, por lo que entonces se deberá multiplicar entre sí los elementos del ámbito que se conocen, para luego dividir este producto entre el único elemento que se tiene del ámbito de la proporción que se desea completar:

Magnitudes

En tercer lugar, será también importante tener en cuenta el concepto de Magnitudes, las cuales han de ser entendidas entonces como el conjunto de elementos, que cuentan con la propiedad de sumarse, ordenarse y compararse con otras unidades, que pueden resultar homogéneas o semejantes a estos.

Magnitudes inversamente proporcionales

Por otro lado, también resultará de provecho tener una explicación sobre las Magnitudes inversamente proporcionales, las cuales serán entendidas como el conjunto de magnitudes, que conforman un par, en el cual se cumple con la propiedad de que cuando una de ellas se multiplique por un factor, la otra se divide por el mismo factor. Es decir, que ambas magnitudes se ven afectadas por el mismo factor, pero de manera inversa.

Repartos directamente proporcionales

Finalmente, se tomará igualmente un momento para explicar el concepto de Repartos directamente proporcionales, los cuales pueden ser tenidos como un procedimiento matemático dirigido a determinar cuál es la manera correcta de repartir una cantidad específica, entre un grupo de elementos y de manera proporcional.

Repartos directamente proporcionales de magnitudes inversamente proporcionales

Una vez se han explicado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse al concepto de Repartos directamente proporcionales, que pueden darse respecto a las Magnitudes identificadas como inversamente proporcionales. En este orden de ideas, las Matemáticas señalan que este procedimiento consiste básicamente en determinar de qué manera se deberá repartir de forma proporcional una cantidad entre un grupo de elementos que resultan inversamente proporcionales.

Para esto, las Matemáticas ha señalado también la necesidad de seguir un grupo de pasos determinados:

1. Una vez planteado el ejercicio será necesario evaluar la información que este ha suministrado, para así poder ver cómo se comportan las Magnitudes, y poder decidir entonces cómo debe procederse.
2. Hecho esto, se pasará a expresar la relación inversamente proporcional que existe entre magnitudes, a una relación directamente proporcional, lo cual se hará relacionando los elementos de la primera magnitud con los inversos de la segunda.
3. Así mismo, al ser los inversos fracciones, se busca entonces determinar las fracciones equivalentes.
4. Cuando se ha establecido la relación directamente proporcional, se procede entonces a hacer la repartición directamente proporcional de una cantidad entre los inversos de la segunda magnitud. Para esto, se procede tan cual ordena la disciplina matemática en el caso de los repartos directamente proporcionales de Magnitudes que resulten de esta naturaleza.
5. Finalmente, se procede a comprobar si realmente el ejercicio se ha hecho de forma debida. Para esto se deberá simplemente sumar las cantidades asignadas a cada uno de los elementos entre los que se ha realizado la repartición, pues su suma deberá reflejar el total de la cantidad que se ha deseado repartir originalmente.

Ejemplo de Repartos directamente proporcionales en Magnitudes inversamente proporcionales

No obstante, puede que la mejor manera de completar una explicación sobre este procedimiento matemático, sea a través de un ejemplo concreto, tal como el que puede verse a continuación:

Si se necesitara repartir 500 euros entre tres adolescentes, a fin de que a cada uno de ellos les toque una cantidad de forma inversamente proporcional a sus edades: 14, 16 y 18 años, ¿cuánto le correspondería a cada uno de ellos?

Cantidad a repartir 500 euros
Edad adolescente  1: 14 años
Edad adolescente 2: 16 años
Edad adolescente 3: 18 años

Lo primero que se hará entonces es llevar las edades de los adolescentes, que constituyen una de las magnitudes de la relación inversamente proporcional a sus inversos, para así poder determinar el reparto directamente proporcional, para esto será simplemente necesario expresar estas edades como fracciones en donde el denominador sea la edad, y el numerador la unidad:

Inversos de las edades de los adolescentes:

Teniendo esto, se procede igualmente a determinar las Fracciones equivalentes de estos inversos, para esto se comenzará determinando cuál es el mínimo común múltiplo que se puede establecer en base a los denominadores de las tres fracciones:

mcm =  7 . 2⁴ . 3²
mcm = 7 . 16 . 9
mcm = 1008

Con este número, es decir, con el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones se pueden construir las distintas Fracciones equivalentes. Para esto, se multiplicará el mínimo común múltiplo con el denominador de la fracción, para luego dividir el producto entre el numerador, que en los tres casos es igual a la unidad:

Por ende, luego de realizada las respectivas operaciones, se logran establecer las siguientes equivalencias entre fracciones:

Ya con estas equivalencias, y a fin de realizar los Repartos directamente proporcionales, se tomarán en cuenta tan solo los numeradores de las fracciones equivalentes. Se establecerá entonces una razón que tenga como numerador la cantidad de dinero a repartir y como denominador el total de la suma de los numeradores de las fracciones equivalentes. Esta razón se multiplicará por el numerador de la fracción equivalente al inverso de la edad del adolescente sobre el cual se busque determinar qué cantidad de dinero le corresponde:

Para determinar si el reparto se ha hecho adecuadamente, bastará con sumar la respectivas cantidades que le corresponden a cada uno, el total debe ser igual a la cantidad a repartir. En este caso, se tendrá entonces:

188,48 + 164,92 + 146,59 = 499,99

Usando la ley de la aproximación se tiene entonces que ciertamente se han repartido proporcionalmente los 500 euros. Así mismo, al analizar las dos magnitudes, es decir la edad y el dinero a repartir, se tendrá la siguiente relación:

Adolescente de 14 años recibe 188,48 euros
Adolescente de 16 años recibe 164,92 euros
Adolescente de 18 años recibe 146,59 euros

Es decir, a medida que la primera magnitud –la de la edad- aumenta, la segunda magnitud –la de la cantidad de dinero recibida- disminuye, por lo que entonces se considera que se ha realizado un Reparto directamente proporcional de Magnitudes inversamente proporcionales.

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