Cómo determinar el Grado absoluto de un polinomio

Definiciones fundamentales

En este sentido, lo mejor puede ser abordar aquellas definiciones que vengan a aclarar cuál es la naturaleza de las expresiones algebraicas en juego, así como los elementos que las conforman. A continuación, cada una de ellas:

Monomio

Tal vez el primer concepto sobre el cual deba repararse es el monomio, expresión algebraica elemental compuesta por una combinación de números y letras (elevadas siempre a números enteros y positivos) entre los cuales se establece una operación de multiplicación, quedando por fuera totalmente las operaciones de suma, resta o división. Así mismo, el monomio puede considerarse constituido por cuatro elementos: el Signo, el cual acompaña al número del término para indicar su naturaleza; el Coeficiente, conformado por el número que multiplica a la variable; el Literal, constituido por una letra que cumple la función de representar una cantidad que no se conoce; y finalmente el Grado, elemento equivalente al valor del mayor exponente que tenga el monomio.

Polinomio

Así también, el concepto de Polinomio toma importancia. Al respecto, se puede decir que el Álgebra elemental considera al polinomio como una expresión algebraica elemental, el cual puede definirse como un conjunto finito de monomios, entre los cuales se establecen operaciones de suma, y en algunas ocasiones –aun cuando en menor frecuencia- de resta y multiplicación, quedando entonces totalmente negada la posibilidad de que entre estos monomios se pueda establecer una operación de división. Igualmente, el Álgebra elemental señala al monomio como una expresión algebraica constituida por cuatro elementos: Términos, definidos como cada uno de los sumandos del polinomio; Término independiente, identificado como el término que no cuenta con variable; Coeficientes, aquellos elementos numéricos que se encuentran multiplicando a las variables; y por último el Grado del polinomio, elemento equivalente al valor del exponente mayor que pueda detectarse en el término.

Cómo determinar el Grado absoluto del polinomio

No obstante, en cuanto al Grado del polinomio a veces no es tan simple como determinar el exponente mayor, pues esto sólo serviría para calcular el grado en polinomios cuyos monomios cuenten con una sola variable. Sin embargo, cuando al menos uno de los términos tiene presencia de más de una variable, el Álgebra elemental indica que deben recurrirse a otras operaciones, al igual que pueden hablarse de al menos dos tipos de grados. Uno de estos es el Grado absoluto, el cual puede ser definido como el Grado del polinomio equivalente al mayor grado absoluto de uno de los monomios.

Ejemplos

Empero, lo mejor en este caso será ofrecer algunos ejemplos de cómo determinar este tipo de Grado. A continuación, algunos de ellos:

Dado el polinomio 9x²y – xy + 3 determinar el grado absoluto

Para cumplir con el postulado, será necesario revisar los términos de este trinomio, encontrando que se tratan de dos monomios de más de una variable y un término independiente. Por consiguiente, para determinar el grado absoluto del trinomio, será indispensable determinar los grados absolutos de cada monomio, lo cual se hará sumando los exponentes de cada término:

9x²y → 2+1= 3 (cuando una de las variable no cuenta con un exponente claramente expresado, se sobre entiende que éste equivale a la unidad)

xy → 1+1= 2

Al comparar resultados, se obtiene que el grado absoluto de mayor valor es el 3. Por ende este trinomio es de tercer grado, o de grado cúbico.

Dado el polinomio 4x³ + 3x + x⁴ + 5 determinar el grado absoluto

Así mismo, es necesario explicar que aun cuando la denominación Grado absoluto se aplica sobre todo para el tipo de grado que se determina en polinomios de varias variables, también puede ser hallado en polinomios de una variable, en donde será necesario simplemente reparar en el exponente de mayor valor. En este caso por ejemplo, tenemos que los exponentes de las variables equivalen respectivamente a los siguientes valores: 3, 1, 4. En consecuencia, el de mayor valor es equivalente a 4, por lo que se puede hablar de que el Grado absoluto de este polinomio es 4, es decir que el polinomio es de cuarto grado, o cuártico.

Dado el polinomio 3ab – abc² – 4bc³ determinar el grado absoluto

Otro ejemplo de cómo determinar el Grado absoluto de un polinomio de más de una variable puede ser este, en donde no existe términos independientes, pero que de igual forma debe seguir el procedimiento de sumar los exponentes de cada monomio, a fin de determinar sus respectivos grados absolutos, tal como se ve a continuación:

3ab → 1+1= 2

– abc² →1+1+ 2= 4

– 4bc³ →1+3=4

Al revisar los resultados, se puede ver cómo dos de los grados absolutos coinciden en su valor. En este caso, en realidad no toma importancia, y se asumen ambos valores como iguales. Al analizar entonces los resultados, se tienen los grados absolutos equivalentes a 2, 4, 4. Se determina que el mayor valor es 4, por lo que el polinomio será considerado de cuarto grado, o cuártico.

Otros ejemplos de cómo determinar el Grado absoluto de un polinomios de más de una variable, pueden ser los siguientes.

P_{(x, y, z)} =  3xy – 4 – 4xyz²

3xy → 1+1= 2
– 4xyz² → 1+1+2= 4

Este polinomio es de cuarto grado, o cuártico.

P_{(a, b)} =  ab² – ab + a³b +a

ab² → 1+2= 3
– ab → 1+1= 2
a³b → 3+1= 4

Este polinomio será de cuarto grado, o cuártico.

P_(x,y) =  2xy² + 3x³y² + 5

2xy² → 1+2= 3
3x³y²→ 3+2= 5

El polinomio será de quinto grado o quíntico.

P_(x,y,z) =  xy – yz + 2xy + 3yz + 4

xy → 1+1= 2
– yz → 1+1= 2
2xy → 1+1= 2
3yz → 1+1= 2

El polinomio es de segundo grado, o cuadrático.

P_(xyz) =   5x² – 3y⁴ + xyz +5

5x² → 2
– 3y⁴ → 4
xyz → 1+1+1= 3

El polinomio es de tercer grado, o cúbico.

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