Definición de monomio

Para comenzar, se debe abordar la definición que da el Álgebra elemental sobre el monomio, al cual ve como una expresión algebraica básica, constituida por una combinación de elementos abstractos numéricos y no numéricos, los cuales se multiplican entre sí, siendo la única operación permitida entre estos elementos, quedando por fuera cualquier posibilidad para la suma, resta o división. Por otro lado, esta disciplina matemática señala una condición más para que el término sea considerado un monomio, y es que la variable o variables que presente se encuentren, en todo momento y bajo cualquier circunstancia, elevadas a exponentes conformados por números enteros y positivos, incluidos el cero.

Definición de polinomio

Por su parte, el Polinomio puede ser entendido como una expresión algebraica más compleja, conformada por un conjunto de monomios, entre los cuales se establecen operaciones de suma, aun cuando también pueden existir operaciones de resta o multiplicación, quedando entonces, totalmente, exenta la de división, la cual no está permitida. Así mismo, el Álgebra elemental ha señalado al  polinomio como una expresión algebraica en donde puede distinguirse cuatro elementos: Términos (cada uno de los sumandos del polinomio); Término independiente (el único término que no tiene presencia de variable); Coeficiente (cada uno de los números que se encuentran multiplicando a las variables) y el Grado (elemento constituido por el valor del mayor exponente o del grado absoluto mayor de los términos).

Cómo determinar el grado de polinomios de más de una variable

Sin embargo, ahondando un poco más en el elemento del Grado y en las operaciones relacionadas con determinarlo, se distinguen básicamente dos procedimientos, inherentes a las características del polinomio. En este sentido, puede hablarse entonces de una primera operación, correspondiente a los polinomios de una sola variable, en donde para determinar el grado del polinomio, será necesario simplemente detectar cuál es el exponente de mayor valor, mientras que por otro lado, se encuentran los polinomios de más de una variable, en donde se debe calcular los grados absolutos de cada uno de los monomios, a fin de compararlos, para determinar cuál es el de mayor valor, asumiendo entonces que éste es equivalente al grado del polinomio.

Ejemplos

No obstante, la mejor forma de entender la forma de detectar el grado de un polinomio de más de una variable es a través de los ejemplos, como los que se muestran a continuación:

Dado el polinomio 6x² – 4xy – 3x²y² +5 determinar el grado

Para cumplir con la exigencia del postulado, será necesario entonces calcular cuál es el grado de cada uno de los monomios de esta expresión, de los cuales dos son de más de una variable, por lo que no basta con fijarse en sus exponentes, sino que además deben sumarse para obtener el grado absoluto de cada término, como puede verse seguidamente:

6x² →  2

– 4xy → 1+1= 2 (cuando una variable no aparece acompañada de un exponente claramente expresado, se asume que este es igual a la unidad)

– 3x²y² → 2+2= 4

De esta manera, se tienen que los grados de cada monomio son respectivamente 2, 2 y 4. Al ser el número mayor el 4, se asume entonces que el grado del polinomio es ese. Por ende, el polinomio puede ser identificado como un Polinomio de cuarto grado, o cuártico.

Dado el polinomio 3ab + 5ab³ + 6a²b³c – a²b determinar el grado

Por su parte, este es un polinomio de cuatro términos, en donde todos son monomios y no puede distinguirse ningún término independiente. En cuanto a la forma en que debe determinarse el grado de esta expresión, a ser todos monomios de más de una variable, se deberá entonces calcular el grado absoluto de cada uno, lo cual se hace sumando los exponentes de sus variables, a fin de comparar los resultados, para detectar el de mayor valor, y por ende el Grado del polinomio. En ese sentido, se tendrá entonces que los grados absolutos de cada monomio son equivalentes a las siguientes cifras:

3ab → 1+1=2

5ab³ → 1+3= 4

6a²b³c → 2+3+1= 6

a²b → 2+1= 3

Al comparar resultados, se puede ver cómo el grado absoluto de mayor valor es equivalente a 6, por lo que el polinomio puede ser identificado como un polinomio de sexto grado.

Dado el binomio 3x²y²z + 2 determinar el grado

Así la expresión no cuente con tantos términos, el procedimiento será igual es todos los casos en donde en un polinomio puedan verse más de una variable. En este ejemplo, se tiene un solo monomio, no obstante cuenta con varias variables, por lo que para determinar el grado del polinomio, será necesario entonces calcular el grado absoluto de este monomio:

3x²y²z → 2+2+1= 5

Al ser el grado absoluto del único monomio encontrado en el binomio equivalente a 5, se concluye entonces que el binomio es de quinto grado, o quíntico.

Otros ejemplos de cómo detectar el grado en polinomios de más de una variable son los siguientes:

4x²y² – 3xyz + 2

4x²y² → 2+2 = 4
3xyz → 1+1+1= 3

El grado del polinomio es 3, es decir, es un polinomio de tercer grado, o cúbico.

3abc –  3a²b  + b²c² + ab²c² + 3 + 4

3abc → 1+1+1= 3
– 3a²b → 2+1= 3
b²c² → 2+2= 4
ab²c² → 1+2+2= 5

El grado del polinomio es 5, es decir, es un polinomio de quinto grado, o quíntico.
2xy² – 3xyz²  + 5xy + 2

2xy² → 1+2= 3
– 3xyz²  → 1+1+2 = 4
5xy → 1+1= 2

El grado del polinomio es 4, es decir, es un polinomio de cuarto grado.

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