Definición de monomio

En este sentido, se puede comenzar por señalar que el monomio es visto por el Álgebra como una expresión algebraica elemental, construida en base a la multiplicación que se puede establecer entre un elemento numérico y un elemento literal, elevado siempre a un exponente entero y positivo. Así mismo, esta disciplina matemática distingue al monomio como una expresión conformada por cuatro elementos esenciales, los cuales pueden ser descritos de la siguiente manera:

• Signo: elemento que acompaña al elemento numérico, a fin de indicar si éste es positivo o negativo.
• Coeficiente: por su parte, este elemento estará conformado por el elemento numérico del monomio, el cual cumple con su misión de representar la cantidad por la que debe multiplicarse la variable.
• Literal: conocido también por el nombre de incógnita o variable, este elemento estará constituido por una letra, que representará una cantidad desconocida.
• Grado: será equivalente al valor del exponente del literal. Su misión es servir de guía en operaciones de clasificación u ordenamiento.

Polinomio

Por su parte, las distintas fuentes teóricas coinciden en definir el Polinomio como una expresión algebraica compleja, la cual se encuentra a su vez conformada por una suma finita de monomios y términos algebraicos, entre los cuales solo es posible la operación de adicción, en su gran mayoría, así también como de resta y multiplicación, quedando exenta solamente la operación de división. Igualmente, en esta expresión pueden ser identificados cuatro elementos, que pueden describirse tal como se muestra a continuación:

• Términos: con este nombre se designarán cada uno de los sumandos de la expresión, es decir, que sirve para nombrar tanto a los monomios, como a los términos independientes que comprenden la expresión.
• Coeficientes: en cuanto a los coeficientes, el Álgebra elemental dice que se encuentran constituidos por los valores numéricos de los monomios. Se encuentran acompañando a las variables de estos términos.
• Término independiente: por el contrario, los términos independientes son aquellos elementos numéricos en donde no puede distinguirse una variable.
• Grado: finalmente, el grado del polinomio vendrá determinado por el grado de máximo valor que pueda hallarse entre sus términos. En un elemento de referencia a la hora de plantearse un ordenamiento de la expresión.

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Vistas estas definiciones, será mucho más fácil hacerse una idea del tipo de expresiones algebraicas que entran en juego a la hora de establecer una operación de multiplicación entre ellas. Sin embargo es importante también reparar sobre la propia definición de Multiplicación de monomios, operación que es vista por esta rama de la matemática como el procedimiento que se lleva a cabo con el fin de obtener le producto que puede existir entre dos expresiones algebraicas identificadas como monomios. En el caso concreto, en donde la multiplicación ocurre entre un monomio y un polinomio, se podría hablar entonces de la operación destinada a determinar el producto resultante cuando los factores de la multiplicación están constituidos por un monomio, y cada uno de los términos que componen el polinomio.

Pasos para multiplicar un monomio por un polinomio

Así mismo, como operación matemática al fin, la Multiplicación de un monomio por un polinomio responde también a una serie de pasos y operaciones, las cuales deben hacerse ordenadamente, con el fin de dar con el resultado correcto. En este sentido, los pasos para resolverla se pueden describir como los siguientes:

• Revisar cada una de las expresiones, a fin de comprobar que ciertamente se tratan de un monomio y un polinomio.
• Multiplicar el signo del monomio por el signo que acompaña cada uno de los elementos del polinomio.
• Multiplicar los valores numéricos del coeficiente del monomio por los coeficientes de los monomios que constituyen el polinomio, así como por el valor del término independiente.
• Anotar a cada uno de los resultados, y respectivamente, los literales correspondiente, lo cual se determinará en dos sentidos: si los términos que se han multiplicado cuentan con la misma base, simplemente se deberá anotar esta también en el resultado, si por el contrario, los términos cuentan con literales diferentes, entonces deberán anotarse en su totalidad, asumiendo para esto un orden alfabético (a,b,c ó  x,y,z).
• Finalmente, se deberán sumar los exponentes de literales de igual base en cada multiplicación, para poder agregárselo a su literal.

Ejemplos de multiplicación de monomios por polinomios

No obstante, es probable que definitivamente la mejor forma de aproximarse a este tipo de operación sea a través de algunos ejemplos, en donde pueda verse la puesta en práctica de lo que señala la teoría algebraica al respecto. A continuación, algunos de ellos:

Resolver la siguiente operación (2x²) . (5x⁵ + 3x³ + x² + 4)=

Al revisar los factores de esta multiplicación, rápidamente pueden ser identificados respectivamente como un monomio y un polinomio. Así mismo, se puede determinar que se trata de términos positivos en su totalidad, por lo que en este caso no será necesario comenzar por la multiplicación de signos, puesto que todos los productos serán igualmente positivos. En consecuencia, se empezará planteando las distintas operaciones que se llevarán a cabo en esta multiplicación.

(2x²) . (5x⁵ + 3x³ + x² + 4)=

(2x² . 5x⁵) +(2x².3x³) +(2x².x²) + (2x².4)=

Estas operaciones se resolverán, en consonancia con lo que dicta la teoría, multiplicando el valor de los coeficientes. Así mismo, al tratarse de variables de igual base, en todos los casos, al  producto de los cocientes se le agregará esta misma base, la cual tendrá como exponente el total originado de la suma de sus exponentes:

(2x² . 5x⁵) +(2x².3x³) +(2x².x²) + (2x².4)=

(2. 5)x²⁺⁵+(2.3) x²⁺³+(2.1)x²⁺²+ (2.4)x²=

(10)x⁷+(6) x⁵+(2)x⁴+ (8)x²

Resultado:   (2x²) . (5x⁵ + 3x³ + x² + 4)=  10x⁷+6 x⁵+2x⁴+ 8x²

Resolver la siguiente operación: 3x³ . (2x²y³ + 5x⁴ + x³y)=

Por su parte, en esta operación queda en evidencia el caso en donde los factores no cuentan por completo con literales de igual base, para resolverlo será necesario entonces anotarlos todos y cada uno en orden alfabético, sumando tan solo los exponentes de aquellos que sí posean igual base, tal como se muestra a continuación:

3x³ . (2x²y³ + 5x² + x²y)=

(3x³.2x²y³) +(3x³.5x⁴) +(3x³.x³y)=

(3.2)x³⁺²y³ +(3.5)x³⁺⁴ +(3.1x³⁺³y)=

(6)x⁵y³ + (15)x⁷ +(3x⁶y)=

Resultado: 3x³ . (2x²y³ + 5x² + x²y)= 6x⁵y³ + 15x⁷ + 3x⁶y

Resolver la siguiente operación:  4x²y . (-x³y²z – 2xy³ – 4)=

En este caso, en cambio se tiene que todos los elementos del polinomio cuentan con signos negativos, a diferencia del monomio que tiene un signo positivo. En consecuencia, se deben multiplicar también estos signos, tomando en cuenta para ello la Ley de signos (+ . – = -) Así mismo, cuenta con literales de diferente base, por lo que deberán anotarse a los productos la totalidad de variables que existe entre ambos monomios, al momento de la multiplicación, siguiendo un orden alfabético, y sumando los exponentes de aquellos que son de igual base:

4x²y . (-x³y²z – 2xy³ – 4)=

(4x²y . -x³y²z) + (4x²y . -2xy³) + (4x²y . -4)=

(4.-1)x²⁺³y¹⁺²z + (4.-2)x²⁺¹y¹⁺³ + (4. -4)x²y =

(-4)x⁵y³z + (-8)x³y⁴ + (-16)x²y

Resultado: 4x²y . (-x³y²z – 2xy³ – 4)= -4x⁵y³z + -8x³y⁴ + -16x²y

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