Para el Álgebra elemental, la Resta de polinomios puede ser entendida como una operación algebraica, dirigida a sumar el minuendo y el opuesto del sustraendo, a fin de conseguir un total, que es asumido como la diferencia entre ambos polinomios.
Definiciones fundamentales
Sin embargo, quizás antes de continuar con aquellos casos que pueden servir de ejemplo a este tipo de operaciones algebraicas, sea necesario revisar algunas definiciones imprescindibles para entender la naturaleza de las expresiones involucradas, así como cada uno de los elementos que la conforman, y las operaciones inherentes a la resta de polinomios. A continuación, algunos de estos conceptos:
Polinomio
Por consiguiente, tal vez lo más pertinente sea comenzar por la propia definición de polinomio, el cual ha sido descrito por el Álgebra elemental como la expresión algebraica compleja, constituida por una serie de monomios (combinación de números y letras elevadas en todo momento a números enteros y positivos) entre los cuales se establecen operaciones matemáticas, siendo por lo general la operación de suma la que sucede entre ellos, aunque esta disciplina matemática también acepta operaciones como la resta y la multiplicación, quedando por fuera toda posibilidad de que entre sus monomios, el polinomio acepte la operación de división.
Elementos del polinomio
Igualmente, el Álgebra elemental señala que dentro de estas expresiones algebraicas de tipo polinómico se pueden contar cuatro elementos esenciales, los cuales pueden definirse tal como se muestra seguidamente:
- Términos: cada uno de los sumandos del polinomio (monomios y términos independientes).
- Coeficientes: elementos numéricos que multiplican y acompañan a la variable.
- Términos independientes: elementos numéricos que no son acompañados por ninguna variable.
- Grado: elemento constituido por el grado de mayor valor que pueda encontrarse en alguno de los términos.
Ordenamiento del polinomio
Por otro lado, el Ordenamiento del polinomio puede ser definido como una operación algebraica, destinada a identificar el grado de la expresión algebraica, a fin de poder disponer los términos de acuerdo a dos órdenes posibles: Ascendente, es decir, desplegando los términos desde el de menor grado hasta el de mayor; o Descendente, cuando el orden que se establece entre los términos se ve orientado por el valor de sus grados, ubicándolos desde el mayor de ellos hasta el menor.
Ejemplos de restas de polinomios
Revisadas estas definiciones, y conscientes de los pasos que deben seguirse a la hora de realizar una operación de resta de polinomios, es decir, organizar los polinomios, lograr el opuesto del sustraendo, a través de la alteración de signos, colocar un polinomios encima de otro –o también frente a frente- y proceder a sumar los términos, a fin de lograr el resultado, se puede avanzar entonces sobre los siguientes casos, en los cuales se puede ver la puesta en práctica de lo que dicta la teoría. A continuación, algunos de ellos:
Restar los polinomio P(x) = 2 + 4x4 + x3 + 8x2 Y Q(x)= 9 + 3x4 – 2x2 + 5x3
En este caso, lo primero que deberá hacerse será procurar un ordenamiento de cada polinomio, lo cual permitirá contar con los elementos literales ubicados en la misma posición:
P(x) = 2 + 4x4 + x3 + 8x2 → P(x) = 4x4 + x3 + 8x2 + 2
Q(x)= 9 + 3x4 – 2x2 + 5x3 → Q(x)= 3x4 + 5x3 – 2x2 + 9
Hecho esto, se colocarán entonces frente a frente los polinomios que se restarán, a fin de poder identificar mucho más fácilmente cuál es el minuendo, y cuál el sustraendo. Igualmente, al hacerlo, se deberá colocar frente a todo el polinomio que constituye el sustraendo un signo menos, a fin de lograr conseguir su opuesto:
P(x) – Q(x) = (4x4 + x3 + 8x2 + 2) – (3x4 + 5x3 – 2x2 + 9)
P(x) – Q(x) = 4x4 + x3 + 8x2 + 2 – 3x4 – 5x3 + 2x2 – 9
Hecho esto, se proceden a colocar juntos los términos semejantes, a fin de poder efectuar las operaciones que marcan los signos que posee cada uno
P(x) – Q(x) = 4x4 + x3 + 8x2 + 2 – 3x4 – 5x3 + 2x2 – 9
P(x) – Q(x) = 4x4– 3x4 + x3 – 5x3 + 8x2+ 2x2 + 2- 9
P(x) – Q(x) = x4 – 4x3 + 10x2 – 7
Por ende, el resultado final será:
P(x) – Q(x) = x4 – 4x3 + 10x2 – 7
Restar los polinomios P(x,y) = 5xy – 4x2y + 3y4 – 5 Y Q(x,y)= 3 + 4xy – 8x2y + y4
Así mismo, existe otro método para restar polinomios, el cual consiste en disponer el minuendo sobre el sustraendo, haciendo que cada uno de los términos coincida en posición con su semejante. Sin embargo, para realizar esta operación a través de este método, será necesario ordenar primero los polinomios:
P(x,y) = 5xy – 4x2y + 3y4 – 5 → P(x,y) = 3y4– 4x2y + 5xy – 5
Q(x,y)= 3 + 4xy – 8x2y + y4 → Q(x,y)= y4 – 8x2y + 4xy + 3
Igualmente, se deberá obtener el contrario del sustraendo, para lo cual es necesario colocar cada polinomio enfrente del otro, a fin de colocar el signo menos delante del sustraendo, procurando entonces la aliteración de signos:
P(x,y) – Q(x,y) = 3y4– 4x2y + 5xy – 5 – (y4 – 8x2y + 4xy + 3)
P(x,y) – Q(x,y) = 3y4– 4x2y + 5xy – 5 – y4 + 8x2y – 4xy – 3
Hecho esto, se procede entonces a colocar cada elemento de la resta en su lugar correspondiente, procediendo a sumar los términos:
3y4 – 4x2y + 5xy – 5
– y4 + 8x2y – 4xy – 3
——————————————-
2y4 + 4x2y + xy – 2Por consiguiente, el resultado final de la operación será:
P(x,y) – Q(x,y) = 2y4 + 4x2y + xy – 2
Restar los polinomios P(x)= – 5x – x2 + 3x4+ 4 Y Q(x)= – x – 4x3 + 8x5 +2x2 + 2
También puede ocurrir que ambos términos, a pesar de contar con términos semejantes, también tengan presencia de elementos que no encuentran su par en el otro polinomio. En este tipo de caso, se procederá igualmente a ordenar cada uno de los polinomios, para después colocarlos frente a frente, y lograr la aliteración de signos, que lleven a conseguir el contrario del sustraendo:
P(x)= – 5x – x2 + 3x4+ 4 → P(x)= 3x4 – x2 – 5x + 4
Q(x)= – x – 4x3 + 8x5 +2x2 + 2 → Q(x)= 8x5 – 4x3 +2x2 – x + 2
P(x)– Q(x)= (3x4 – x2 – 5x + 4) – (8x5 – 4x3 +2x2 – x + 2)
P(x)– Q(x)= 3x4 – x2 – 5x + 4 – 8x5 + 4x3 – 2x2 + x – 2
Escogido el método en donde se coloca el minuendo sobre el sustraendo, se dispondrán cada uno de los términos, y en caso de que exista un grado que no se encuentre en ambos polinomios, se deberá respetar el espacio que este ocupa en la disposición, a fin de poder sumar los coeficientes de los semejantes, y anotar los términos que no se han sumado, en su justa posición:
3x4 – x2 – 5x + 4
– 8x5 + 4x3 – 2x2 + x – 2
—————————————–
-5x4 + 4x3 – x2 – 4x + 2Finalmente, el resultado de esta operación podrá ser expresado de la siguiente forma:
P(x)– Q(x)= -5x4 + 4x3 – x2 – 4x + 2
Restar los polinomios P(x)= 9x + 6x5 – 4x3 + x2 – 6 Y Q(x)= 6x4 – 9 + 9x3 + 7x2 – x
No obstante, este tipo de casos, en donde además de los términos semejantes, pueden observarse grados que faltan, o que bien están en un polinomio, y en otro no, pueden solucionarse por el método en donde los polinomios se enfrentan, formando una sola expresión. En consecuencia, la operación debe comenzarse como siempre por ordenar los polinomios:
P(x)= 9x + 6x5 – 4x3 + x2 – 6 → P(x)= 6x5 – 4x3 + x2 + 9x– 6
Q(x)= 6x4 – 9 + 9x3 + 7x2 – x → Q(x)= 6x4 + 9x3 + 7x2 – x – 9Posteriormente, se busca obtener el opuesto del sustraendo, colocando un signo menos (-) delante de toda la expresión algebraica:
P(x)– Q(x)= (6x5 – 4x3 + x2 + 9x– 6) – (6x4 + 9x3 + 7x2 – x – 9)
P(x)– Q(x)= 6x5 – 4x3 + x2 + 9x– 6 – 6x4 – 9x3 – 7x2 + x + 9Se procede entonces a colocar cada uno de los términos semejantes uno frente al otro, para resolver las operaciones planteadas entre ellos:
P(x)– Q(x)= 6x5 – 4x3 + x2 + 9x– 6 – 6x4 – 9x3 – 7x2 + x + 9
P(x)– Q(x)= (6x5) + (– 6x4) + (-4x3 – 9x3) +( x2– 7x2) + (9x+ x) + (– 6 + 9)
P(x)– Q(x)= 6x5 – 6x4 – 13x3 – 6x2 + 10 + 3En consecuencia, el resultado final será el siguiente:
P(x)– Q(x)= 6x5 – 6x4 – 13x3 – 6x2 + 10 + 3
Restar los polinomios P(x) = 5x2 – 6 + 3x4– x3 + 8x Y Q(x)= 4 – 2x2 + 5x4 – 2x3 – x
Así mismo, se puede probar si el resolver la operación a través de los dos métodos examinados, en verdad produce iguales resultados. En consecuencia, se deberán seguir los pasos iniciales de ordenar los polinomios y conseguir el contrario del sustraendo, para después restar los polinomios, tanto por el método de disponer el sustraendo y el minuendo, uno encima del otro, o también de colocarlos uno en frente del otro convirtiéndolos en una sola expresión:
P(x) = 5x2 – 6 + 3x4– x3 + 8x → P(x) = 3x4– x3 + 5x2 + 8x – 6
Q(x)= 4 – 2x2 + 5x4 – 2x3 – x → Q(x)= 5x4 – 2x3 – 2x2 – x + 4P(x)– Q(x)= (3x4– x3 + 5x2 + 8x – 6) – (5x4 – 2x3 – 2x2 – x + 4)
P(x)– Q(x)= 3x4– x3 + 5x2 + 8x – 6 – 5x4 + 2x3 + 2x2 + x – 4Una vez hecho este paso, se podrán colocar en práctica los dos métodos, comenzando por aquel que dicta ubicar el minuendo por encima del sustraendo:
3x4 – x3 + 5x2 + 8x – 6
– 5x4 + 2x3 + 2x2 + x – 4
———————————————
– 2x4 + x3 + 7x2 + 9x – 10De esta forma, el resultado final de esta operación será:
P(x)– Q(x)= -2x4 + x3 + 7x2 + 9x – 10
Sin embargo, también puede emplearse el otro método, consistente en colocar cada polinomio, uno en frente del otro, a fin de obtener una sola expresión, en donde se encuentren y se sumen los términos semejantes:
P(x)– Q(x)= (3x4– x3 + 5x2 + 8x – 6) – (5x4 – 2x3 – 2x2 – x + 4)
P(x)– Q(x)= 3x4– x3 + 5x2 + 8x – 6 – 5x4 + 2x3 + 2x2 + x – 4
P(x)– Q(x)= (3x4– 5x4) + ( – x3+ 2x3) + (5x2 + 2x2) + (8x + x) + ( – 6 – 4)
P(x)– Q(x)= -2x4 + x3 + 7x2 + 9x -10
Se concluye entonces, que ambos métodos, en efecto, conducen a iguales resultados.
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