Uno de los casos que pueden darse cuando se desea elevar un binomio al cubo es que entre sus binomios se platee una resta. Sin embargo, antes de abordar una explicación sobre cuál es el producto notable pertinente para su solución, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender esta regla matemática en su justo contexto.
Definiciones fundamentales
De esta forma, se tomará también la decisión de delimitar esta revisión teórica a dos nociones específicas: Binomios y Productos notables, por encontrarse directamente relacionadas con el producto notable, que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:
Binomios
Por consiguiente, podrá comenzarse por decir que los Binomios han sido explicados por las distintas fuentes como una expresión algebraica, constituida por la suma o la resta –siendo estas las únicas operaciones admitidas- entre dos monomios, es decir, dos términos algebraicos, que se encuentran conformados a su vez por un término numérico y un término literal, entre los que ocurre una operación de multiplicación, siendo igualmente la única operación posible entre estos elementos.
En consecuencia, los Binomios también pueden ser explicados como un polinomio de dos términos. Algunos ejemplos de esta clase de expresión algebraica serán los siguientes:
2x2 + y =
3x + 2=
x2 + y =
Productos notables
En segundo lugar, también será necesario lanzar luces sobre los Productos notables, los cuales han sido explicados como un conjunto de normas o leyes matemáticas, orientadas a la Factorización de polinomios, es decir, al procedimiento por medio del cual se logra tomar un polinomio, y expresarlo en forma de producto.
De esta manera, los Productos notables son descritos también como un conjunto de normas, que permiten la realización directa de operaciones de multiplicación entre polinomios, evitando entonces que este procedimiento deba hacerse término por término, lo cual además de traducirse en un ahorro de tiempo, también permite que se eviten ciertos errores al momento de realizar estas operaciones.
Cubo de un binomio cuando implica resta
Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre el Cubo de un binomio cuando implica resta, el cual puede ser entonces identificado como uno de los posibles casos en cuanto a la aplicación de un producto notable.
De forma mucho más específica, el Cubo de un binomio cuando implica resta es un producto notable que dicta que toda vez que se desee resolver una operación en donde se encuentre elevado al cubo un binomio en donde sus monomios se resten, el resultado será igual al cubo del primer término, menos el triple del producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término. Esta ley matemática puede ser expresada en la siguiente fórmula:
(a – b) = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Ejemplo de Cubo de un binomio cuando implica resta
No obstante, puede que la forma más eficiente de completar una explicación sobre la manera correcta de resolver, por medio del producto notable, todo binomio que se eleve al cubo, al tiempo que sus elementos se resten, sea a través de un ejemplo concreto, como el que se muestra a continuación:
(x – 2y)3 =
Lo primero que se hará al abordar este ejercicio es revisar la naturaleza de los elementos que los constituyen. Al hacerlo, se determina entonces que se trata del cubo de un binomio, en donde sus elementos se restan. Por ende, para comenzar con la solución de esta operación, se deberá aplicar la fórmula del producto notable correspondiente:
(x – 2y)3 = (x)3 – 3 . (x)2 . (2y) + 3 . (x) . (2y)2 – (2y)3
Hecho esto, se comenzará entonces a resolver cada una de las distintas operaciones planteadas:
(x)3 – 3 . (x)2 . (2y) + 3 . (x) . (2y)2 – (2y)3 = x3 – 6x2y + 3.(x).4y2 – 8y3
x3 – 6x2y + 3.(x).4y2 – 8y3 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3
Se ordenan entonces los términos:
x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 → x3 – 8y3 – 6x2y + 12xy2
Por último, se expresa entonces el resultado de la operación:
(x – 2y)3 = x3 – 8y3 – 6x2y + 12xy2
Identidades de Cauchy cuando el cubo del binomio implica resta
Sin embargo, esta no es la única forma de resolver una operación, en donde se plantee la elevación al cubo de un polinomio, en donde los dos términos se resten entre sí. En este sentido, este tipo de operación puede resolverse también por medio de la identidad notable conocida como identidades de Cauchy.
En este sentido, esta regla matemática indica que siempre que se quiera elevar al cubo un binomio que implica resta, el resultado será igual al cubo del primer término, menos el cubo del segundo término, menos el triple del producto de los términos por la resta de los mismos. Esta ley matemática puede ser expresada por medio de la siguiente fórmula:
(a – b) = a3 – b3 – 3ab.(a-b)
Ejemplo de las identidades de Cauchy cuando el cubo de binomio implica resta
En este caso, también será necesario exponer un ejemplo concreto, que permita ver si realmente la aplicación de esta identidad notable arroja el mismo resultado de cuando se aplica el producto notable. A continuación, el siguiente ejercicio:
(x – 2y)3 =
Al abordar el binomio, se encuentra que es la misma expresión que ha sido solucionada por medio del producto notable. Empero, en esta ocasión se hará por medio de las identidades de Cauchy. Por ende, se comenzará aplicando al binomio la fórmula planteada por esta identidad:
(x – 2y)3 = (x)3 – (2y)3 – 3.(x).(2y).(x-2y)
Se procede entonces a resolver las operaciones planteadas:
(x)3 – (2y)3 – 3.(x).(2y).(x-2y) = x3 – 8y3 – 6xy.(x-2y)
x3 – 8y3 – 6xy.(x-2y)= x3 – 8y3 – 6x2y + 12xy2
Por último, se expresa el resultado:
(x – 2y)3 = x3 – 8y3 – 6x2y + 12xy2
Igualmente, se observa que a través de las identidades de Cauchy se ha llegado al mismo resultado que con la aplicación del producto notable.
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