Definiciones fundamentales

En este orden de ideas, puede que también sea necesario delimitar esta revisión teórica a cinco nociones específicas: Ecuaciones, Ecuaciones de segundo grado, Fórmula general para ecuaciones de segundo grado completas, Suma de soluciones de ecuaciones de segundo grado y Producto de soluciones de ecuaciones de segundo grado. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Ecuaciones

Por consiguiente, podrá verse que las Ecuaciones han sido explicadas entonces, de forma general, como un tipo de igualdad literal, en donde el elemento literal constituye una incógnita, que solo cuenta con una posible solución. Un ejemplo de este tipo de expresiones, será el siguiente:

2 + x = 9

En este caso, se podrá optar por sustituir a x por distintos valores, a fin de comprobar si ciertamente la igualdad planteada se cumple con cualquier valor, o si por el contrario solo es posible con una de ellas:

2 + 3 = 9 → 5 ≠ 9
2 + 4 = 9 → 6 ≠ 9
2 + 8 = 9 → 10 ≠ 9
2 + 5 = 9 → 7 ≠ 9
2 + 7 = 9 → 9 = 9

Al hacerlo, se observará cómo la igualdad original se cumple tan sólo cuando el valor de x es igual a 7. Por ende, siendo una igualdad literal que se cumple cuando x tiene un valor determinado, la expresión será reconocida entonces como una Ecuación. Si por el contrario, esta igualdad pudiese cumplirse con cualquier valor para x, la expresión sería reconocida en cambio como una Identidad.

Ecuaciones de segundo grado

Así mismo, será necesario lanzar luces sobre el concepto de Ecuaciones de segundo grado, las cuales han sido explicadas por su parte como una igualdad literal, en donde el literal no sólo constituye una incógnita con una sola solución posible, sino que este elemento se encuentra elevado al cuadrado.

En caso de que en la igualdad exista más de un literal, el máximo valor de los exponentes que podrán observarse en ellos será el cuadrado. A continuación, un ejemplo de la forma reducida con la que pueden contar estas expresiones:

ax² + bx + c

Por igual, las Matemáticas señalan que en las Ecuaciones de segundo grado pueden encontrarse dos distintos tipos de componentes, los cuales han sido explicados de la siguiente forma:

• Elementos: en primer lugar, existirán dos subtipos de elementos: por un lado, se encontrarán los coeficientes a, b y c, los cuales estarán constituidos inequívocamente por elementos numéricos; por otro lado, en las ecuaciones de segundo grado podrá encontrarse también la incógnita, la cual estará representada siempre por el elemento literal, el cual por tradición está constituido por la letra x.
• Términos: también dentro de las ecuaciones de segundo grado, la disciplina matemática distingue tres distintos tipos de términos, los cuales han sido explicados de la siguiente manera:

• ax² → conocido como el término cuadrático, es el responsable de señalar cuál es el grado de la ecuación.
• bx → término lineal
• c → término independiente, denominado de esta manera por estar constituido por un elemento numérico, el cual no cuenta con compañía alguna de términos literales.

Por otra parte, la presencia o ausencia de algunos de estos términos hacen posible que la Ecuación de segundo grado pueda ser clasificada en dos distintas clases:

• Ecuaciones de segundo grado completas: son aquellas expresiones literales en donde se puede encontrar en todo momento presencia de los tres términos por los cuales se encuentra compuesta este tipo de ecuación, es decir, que se puede encontrar el término cuadrático, el término lineal y el término independiente.
• Ecuaciones de segundo grado incompletas: por otro lado, también se encontrarán este tipo de ecuaciones, las cuales sucederán cuando el término lineal o el término independiente resulten nulos, debido a que sus coeficientes pueden resultar igual a cero. En ningún caso esta situación puede presentarse en el término cuadrático, pues de ser así, la ecuación dejaría de ser de segundo grado, por la nulidad de este elemento. Las ecuaciones de segundo grado incompletas tendrán las siguientes formas:

ax² + bx = 0
ax² + c = 0
ax² = 0

Fórmula general para ecuaciones de segundo grado

Por otro lado, las Matemáticas también han señalado que las Ecuaciones de segundo grado completas cuentan con dos métodos posibles para su solución. De esta manera, la disciplina matemática concibe que se puede emplear tanto el método de los cuadrados perfectos, equivalentes a la ecuación de segundo grado, como al método de la fórmula general, la cual cuenta con a siguiente expresión:

En relación a esta expresión será importante destacar que en esta fórmula, los distintos autores señalan que el radicando del radical, ubicado en el ámbito superior de la fórmula, recibe el nombre de Discriminante, siendo un elemento cuya naturaleza, bien sea positiva, negativa o nula, determinará cuántas posibles soluciones tiene esta igualdad literal.

Suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado

Otro de los conceptos que es necesario revisar será la Suma de soluciones de una ecuación de segundo grado, el cual es explicado como una de las propiedades matemáticas que pueden encontrarse en las ecuaciones de este tipo, y que dicta que la suma de las dos soluciones de las ecuaciones de segundo grado será igual al cociente entre coeficiente del término lineal, con el signo contrario, entre el coeficiente del término cuadrático, lo cual contará con la siguiente expresión:

Producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado

Así también, en las ecuaciones de segundo grado podrá encontrarse otra propiedad matemática, conocida como Producto de las soluciones de ecuaciones de segundo grado, la cual señala que el producto entre las dos soluciones de una ecuación de este tipo resulta igual al cociente del término independiente entre el coeficiente del término coeficiente cuadrático:

Ecuación de segundo grado a partir de sus soluciones

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, será mucho más sencillo abordar este método matemático, destinado a averiguar cuál es la ecuación de segundo grado, a partir de las operaciones realizadas con sus diferentes soluciones. Por consiguiente, la disciplina matemática señala que siempre la ecuación de segundo grado será igual al término cuadrático menos la suma de soluciones, como el término lineal y con el signo contrario, más el producto de las soluciones como término independiente:

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