Antes de abordar un ejemplo concreto sobre la manera en que debe realizarse la Descomposición de un trinomio de segundo grado en productos de factores, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este procedimiento en su justo contexto matemático.
Definiciones fundamentales
Por consiguiente, se optará también por delimitar esta revisión teórica a dos nociones específicas: Ecuaciones de segundo grado y Descomposición del trinomio de segundo grado en producto de factores, por encontrarse directamente relacionados con el ejemplo que se estudiará posteriormente. A continuación, cada uno de estos conceptos:
Ecuaciones de segundo grado
De esta manera, podrá verse cómo las Matemáticas han explicado las Ecuaciones de segundo grado como una igualdad literal en la cual el elemento literal se caracteriza por constituir una incógnita, que debe ser despejada, teniendo sólo una posible solución, al tiempo que se encuentra elevada al cuadrado.
Si en estas expresiones hubiese varios literales, el mayor exponente que podría hallarse en ellos sería el cuadrado. A continuación, un ejemplo de la forma reducida con la que pueden contar este tipo de igualdades literales:
ax2 + bx + c = 0
Así mismo, la disciplina matemática señala que en las ecuaciones de segundo grado pueden distinguirse dos diferentes tipos de componentes, los cuales han sido explicados a su vez de la siguiente forma:
- Elementos: en primer lugar, se encontrarán dos subtipos de elementos: por un lado, estarán los coeficientes a, b y c, elementos estos constituidos siempre por números; por otro, en las ecuaciones de este tipo también se encontrará la incógnita, constituida por un elemento literal, que por tradición corresponde con la letra x.
- Términos: por igual, en las ecuaciones de segundo grado también podrán encontrarse tres diferentes términos, descritos de la siguiente manera:
- x2 → término cuadrático, el cual se caracteriza por señalar cuál es el grado de la ecuación.
- bx → término lineal.
- c → término independiente, el cual está constituido por un elemento numérico, sin compañía de elementos literales.
La presencia o ausencia de alguno de estos términos dará origen también a los dos distintos tipos de ecuaciones de segundo grado:
- Ecuaciones de segundo grado completas: conocidas como aquellas ecuaciones de segundo grado en las que pueden observarse sus tres distintos términos, situación que es posible debido a que los tres coeficientes a, b y c son diferentes a cero. Estando conformada por términos algebraicos o monomios, entre los que se establecen operaciones de suma, entre otras, estas ecuaciones pueden ser consideradas también como polinomios, específicamente como trinomios de segundo grado.
- Ecuaciones de segundo grado incompletas: por su parte, las ecuaciones de segundo grado incompletas serán igualdades literales en donde no podrá encontrarse presencia del término lineal o del término independiente –y en algunos casos de ambos- debido a que los coeficientes de estos términos, es decir b y c, resultan nulos. Con respecto al término cuadrático este nunca podrá ser nulo, puesto que de serlo la ecuación no podría ser considerada como de segundo grado. A continuación, algunas de las distintas formas que pueden asumir las ecuaciones de segundo grado incompletas:
ax2 + bx = 0
ax2 + c = 0
ax2 = 0
Descomposición del trinomio de segundo grado en producto de factores
De igual forma, también se traerá a capítulo el concepto de Descomposición de ecuaciones de segundo grado completas –o trinomios de segundo grado- en producto de factores, lo cual se hará gracias a la aplicación de la fórmula, que indica que siempre que se quiera realizar este proceso, se tendrá que el trinomio de segundo grado será equivalente al producto del coeficiente a por la resta del literal menos la primera solución del trinomio por la resta del literal menos la segunda solución de esta ecuación de segundo grado completa:
ax2 + bx + c = a . (x – x1) . (x – x2)
Así mismo, es necesario acotar que siempre que se quiera efectuar o aplicar esta práctica, lo primero que deberá hacerse es resolver la operación o trinomio de segundo grado, con el fin de obtener las dos soluciones, que participarán en la fórmula que conduce a la descomposición en producto de factores.
Ejemplo de descomposición del trinomio de segundo grado en producto de factores
Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar un ejemplo preciso sobre la forma adecuada en que debe aplicarse la fórmula que permite realizar la Descomposición de un trinomio de segundo grado en producto de factores. A continuación, el siguiente ejercicio:
Descomponen en producto de factores el siguiente trinomio: y= x2 – 8x + 12
Ante este planteamiento, lo primero que se hará será solucionar el trinomio presentado, lo cual será posible aplicando la fórmula general para la solución de ecuaciones de segundo grado completas:
x2 – 8x + 12 = 0
Al resolver este trinomio, se obtienen entonces dos soluciones: x1 = 6 y x2 = 2. Con ellas se podrá completar el procedimiento de descomposición:
x2 – 8x + 12 = 1.( x – 6) . (x – 2)
Se considera entonces que el trinomio de segundo grado o la ecuación de segundo grado completa ha sido correctamente descompuesta en productos de factores.
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