Quizás lo mejor, antes de abordar la exposición de un ejemplo concreto sobre la aplicación del Método de Reducción a la unidad en los ejercicios de Regla de tres compuesta directa-inversa, sea revisar de forma breve algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este procedimiento en su contexto matemático preciso.
Definiciones fundamentales
De esta manera, puede que también sea recomendable delimitar esta revisión teórica a siete nociones específicas: Razones, Proporciones, Magnitudes directamente proporcionales, Magnitudes inversamente proporcionales, Magnitudes proporcionales a otras varias, Regla de tres compuesta directa-inversa y Método de reducción a la unidad en la Regla de tres compuesta directa inversa, por encontrarse directamente relacionadas con el ejercicio que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:
Razones
Por consiguiente, se comenzará por decir que las Razones han sido explicadas por las distintas fuentes matemática como un tipo de expresión, que cumple con la misión de dar cuenta sobre el cociente entre dos números, es decir, que las razones sirven para señalar cuántas veces se encuentra contenido el Divisor dentro del Dividendo. A continuación, algunos ejemplos sobre este tipo de expresiones:
Así también, los diferentes autores han señalan que las Razones se encontrarán conformadas por dos distintos elementos: el Antecedente, el cual ocupa el ámbito superior de la expresión, al tiempo que se encarga de señalar el Dividendo; y el Consecuente, elemento que se ubica en la parte inferior de la Razón, al tiempo que cuenta con la misión de indicar cuál es el Divisor.
Por otro lado, las Matemáticas también han indicado la importancia de no confundir las Razones con las Fracciones, pues aun cuando estas expresiones pueden guardar similitud en cuanto a sus formas, en realidad corresponden a realidades matemáticas diferentes. De esta manera, mientras las Razones –conformadas por el Antecedente y el Consecuente- señalan el cociente entre dos números, las Fracciones –constituidas por el Numerador y el Denominador- referirán cuántas partes se han tomado de una unidad dividida en partes iguales.
Proporciones
En segundo lugar, también será importante tomar un momento para revisar el concepto de Proporciones, las cuales han sido explicadas entonces como la relación de igualdad que existe entre dos razones. Ergo, las proporciones son dos razones iguales. Un ejemplo de proporciones puede ser el siguiente:
En este caso, puede observarse cómo pese a que ninguno de los elementos que conforman las razones coincide entre sí respecto a su valor, estas expresiones pueden considerarse como proporcionales o iguales, puesto que si se resolvieran las divisiones que plantean, en ambos casos se obtendría un cociente igual a dos. Por ende, ambas razones constituyen expresiones del mismo cociente.
Empero, este no es el único método con el que cuentan las Matemáticas para determinar si dos razones son o no proporcionales, ya que podría emplearse igualmente el método de los Extremos y los Medios. Para esto, se requerirá entonces multiplicar entre sí los elementos que constituyen los Extremos –los cuales se encuentran conformados por el Antecedente de la primera razón por el Consecuente de la segunda- así como los elementos que constituyen los Medios –el Consecuente de la primera razón por el Antecedente de la segunda. Si ambos productos coinciden en su valor, se concluye entonces que las Razones son iguales, o proporcionales:
Este atributo es conocido por lo general en las Matemáticas como una de las principales Leyes de la proporcionalidad, y en verdad resulta de gran utilidad siempre que alguno de los elementos que conformen a proporción se presenten como incógnito o desconocido. En consecuencia, para descubrir la identidad de esta elemento, bastará con aplicar un ejercicio de Regla de tres simple directa, en la cual simplemente se multiplican los elementos que constituyen el ámbito que se encuentra completo, y luego este producto se divide entre el único elemento que se conoce del ámbito que se desea completar:
Magnitudes directamente proporcionales
De igual forma, será de provecho tomar un momento para traer a capítulo la definición de Magnitudes directamente proporcionales. No obstante, puede que convengan de manera previa señalar que las Matemáticas conciben las Magnitudes como el conjunto de elementos, que pueden sumarse, ordenarse o compararse con otros, que les resulten semejantes o de la misma naturaleza.
En cuanto al concepto de Magnitudes directamente proporcionales, las Matemáticas han señalado que esta pueden ser descritas como el conjunto o par de Magnitudes, en donde se puede observar el atributo de que cuando una de ellas se multiplica o divide entre un factor específico, la otra reacciona de igual forma, es decir que también se multiplica o divide entre el mismo factor, es decir, se ve afectada de manera directa y proporcional.
Magnitudes inversamente proporcionales
Otro de los conceptos sobre los cuales se deberá lanzar luces son las Magnitudes inversamente proporcionales, las cuales serán explicadas entonces como aquel par de Magnitudes en donde se puede observar que cuando la primera de ellas se ve multiplicada por o dividida entre un factor específico, la otra reacciona en sentido inverso y proporcional.
Esto quiere decir que si por ejemplo la primera magnitud se multiplica por un factor específico, la segunda reaccionará dividiéndose entre este factor. Por el contrario, si la primera magnitud se dividiera por un factor específico, la segunda debería entonces multiplicarse por este mismo factor.
Magnitudes proporcionales a otras varias
Con respecto al concepto de Magnitudes proporcionales a otras varias, las Matemáticas señalan que estas pueden ser entendidas como la Magnitud que resulta proporcional o más de una magnitud, siempre y cuando las otras restantes se mantengan fijas. Así mismo, las Matemáticas indican que este tipo de magnitudes son capaces de constituir proporciones conformadas por tres distintas magnitudes, cuando la norma es que la proporción se establezca entre dos razones iguales.
Regla de tres compuesta directa-inversa
Así mismo, será menester detenerse en la explicación que ha dado la Matemática en relación a la Regla de tres compuesta directa-inversa, procedimiento matemático este que tiene como propósito averiguar algún elemento que se presente como desconocido en una proporción conformada entre tres magnitudes, en donde dos de ellas establezcan relaciones directamente proporcionales, y otras dos por su lado relaciones inversamente proporcionales.
Método de la reducción a la unidad en la Regla de tres compuesta directa
Por último, también resultará de provecho tomar un momento para pasar revista sobre la definición del Método de reducción a la unidad, aplicado en la Regla de tres compuesta directa-inversa, el cual básicamente ha sido explicado como el procedimiento matemático por medio del cual, una vez expuesta una proporción constituida por tres magnitudes, en donde dos son directamente proporcionales, y las otras dos inversamente proporcionales, se busca establecer la relación proporcional que existe en la unidad, para posteriormente poder establecer otras proporciones.
Ejemplo del Método de reducción a la unidad en la Regla de tres compuesta directa-inversa
Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a un ejemplo, que permita ver de forma concreta cómo se debe aplicar este método. A continuación, el siguiente ejercicio:
Una fábrica de automóviles construye un total de 4 autos en 30 días, trabajo para el cual usa 60 empleados. ¿Cuántos trabajadores necesita emplear la empresa para fabricar 6 automóviles en un total de 90 días?
Para resolver este ejercicio, lo primero que deberá hacerse es revisar y establecer cuáles son las magnitudes que existen en este planteamiento, y que básicamente pueden ser precisadas de la siguiente manera:
En primer lugar, se puede encontrar entonces una Magnitud directamente proporcional entre el número de autos fabricados y el número de obreros que se emplea, puesto que si la primera magnitud se multiplica, la segunda reacciona de igual manera.
Por otro lado, en este planteamiento también podrá encontrarse una Magnitud inversamente proporcional, constituida entre el Número de días y el Número de trabajadores, ya que aun cuando aumente el número de autos a fabricar, en realidad si aumenta el tiempo para la labor requerida, el número de empleados disminuye.
El segundo paso, en el camino de lograr la Reducción a la unidad, será establecer cuántos empleados se necesitan en realidad para construir 1 solo automóvil en 30 días, para esto se dividirá el total de empleados usados para elaborar 4 autos, entre este número de vehículos:
60 : 4 = 15
Al hacerlo, se precisa entonces que para fabricar 1 automóvil en 30 días se necesita tan sólo de 15 empleados. A continuación, se deberá entonces, con este dato, precisar cuántos empleados se requieren para construir 1 sólo automóvil en 1 días, para esto se multiplica el número hallado por 30:
15 x 30 = 450
Por ende, se descubre que para construir 1 automóvil en 1 día son necesarios un total de 450 empleados. Se ha logrado entonces la Reducción a la unidad. A partir de este dato, se puede entonces determinar cuántos obreros se requerirán para construir 6 autos en tan sólo un día. Para esto se necesitará entonces multiplicar la cantidad de obreros que se necesitarían para que realizaran 1 automóvil en 1 sólo día por 6 autos:
450 x 6 = 2.700
Si se requiriera fabricar 6 autos en 1 día, la fábrica requeriría entonces un total de 2.700 empleados. Ya con este dato, se puede continuar el ejercicio, puesto que se puede precisar entonces cuántos empleados se necesitan para hacer estos 6 automóviles en 90 días. Determinar esto pasará por dividir la cantidad de empleados que se requieren para construir 6 autos en 1 día, y se dividirá entre 90 días:
2.700 : 90 = 30
Al obtener este resultado, se tiene entonces los datos que se han podido obtener en la resolución de este ejercicio:
Para fabricar 4 autos en 30 días se requieren 60 empleados
Para fabricar 1 auto en 1 día se necesitan 450 empleados
Para fabricar 6 autos en 90 días se necesitan 60 empleados
Imagen:
