Propiedad de U como elemento neutro respecto a la Intersección

Definiciones fundamentales

Al respecto, puede que sea pertinente comenzar por explicar la definición de Conjunto, pues esto permitirá tener presente la naturaleza del objeto matemático sobre la cual se define también el Conjunto Universal. Así mismo, será necesario pasar revista sobre este último concepto, al igual que sobre la propia definición de Intersección, por ser la operación en base a la cual se da esta propiedad. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Conjunto

En este sentido, se dirá entonces que las diferentes fuentes teóricas coinciden en señalar al Conjunto como una agrupación de elementos, que responden a una sola naturaleza, es decir, que en ellos puede encontrarse la presencia de al menos un rasgo en común, de ahí que puedan ser entendidos entonces como una colección abstracta. Por otro lado, las Matemáticas también han indicado que el Conjunto cuenta con una característica principal: la de estar definida y conformada, única y exclusivamente, por sus elementos. En referencia a su notación, las fuentes teóricas indican que en todo momento el Conjunto se nombrará según una letra mayúscula, mientras que sus elementos se presentarán como una numeración, contenida por signos de llaves {}.

Conjunto Universal

Por su parte, el Conjunto Universal puede ser entendido como una colección abstracta en donde pueden encontrarse como elementos todos aquellos que formen parte de un contexto matemático específico. Conocido también como Conjunto de referencia, este tipo de conjunto comprenderá la totalidad de elementos de un universo o contexto específico. Así también, es importante destacar que las diferentes fuentes señalan que el Conjunto Universal puede ser definido según la conveniencia del ejercicio o realidad matemática que quiera establecerse. Este conjunto lleva por nombre U, a pesar de que hay corrientes que también se inclinan, aunque en menor medida, a nombrarla según la letra V.

Intersección de conjuntos

Finalmente, será necesario también traer a capítulo la definición de Intersección, la cual puede ser explicada entonces como una operación del Álgebra de Conjuntos, por medio de la cual dos colecciones establecen entre ellas una relación de intersección, creando un tercer conjunto en donde se pueden contar como elementos todos y cada uno de aquellos que resulten comunes a las colecciones que han participado de esta operación. Igualmente, esta disciplina matemática señala que esta operación puede expresarse de la siguiente manera:

A ∩ B=

Propiedad de U como elemento neutro respecto a ∩

Teniendo en cuenta estas definiciones, puede que sea un poco más sencillo comprender la Propiedad matemática que señala a U como elemento neutro respecto a ∩, y que reza expresamente que siempre que el Conjunto Universal establezca una operación de intersección con un conjunto dado, que obviamente será subconjunto de U, dicha operación dará como resultado a este conjunto dado. Esta situación puede que encuentre explicación si se piensa que estando A dentro de U, al establecer una operación de intersección entre ellos, se obtendrá un conjunto que coincidirá plenamente con A, puesto que los elementos de éste son los únicos que puede tener en común con U. Con respecto a la expresión matemática de esta Ley, se tiene la siguiente:

A ∩ U = A

Ejemplo de la Propiedad de U como elemento neutro en ∩

No obstante, puede que la forma más eficiente de explicar esta propiedad sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, que permita ver en la práctica cómo se cumple esta ley matemática, tal como se ve a continuación:

Dado un conjunto A, constituido por nombre de ciudades: A= {París, Londres, Bogotá, Caracas, Buenos Aires, Rosario} comprobar la Propiedad de U como elemento neutro en ∩, tomando en cuenta el Conjunto Universal: U= {París, Londres, Bogotá, Caracas, Buenos Aires, Rosario, Madrid, Santiago, Cali, Berlín, Seúl}.

A fin de dar cumplimiento con la solicitud hecha por este postulado, se deberá realizar una operación de Intersección entre ambas colecciones, a fin de examinar el resultado y comprobar si este resulta igual al conjunto A:

A= {París, Londres, Bogotá, Caracas, Buenos Aires, Rosario}
U= {París, Londres, Bogotá, Caracas, Buenos Aires, Rosario, Madrid, Santiago, Cali, Berlín, Seúl}.

A ∪ U= {París, Londres, Bogotá, Caracas, Buenos Aires, Rosario} ∪ {París, Londres, Bogotá, Caracas, Buenos Aires, Rosario, Madrid, Santiago, Cali, Berlín, Seúl}.

A ∪ U= {París, Londres, Bogotá, Caracas, Buenos Aires, Rosario}

Una vez realizada esta operación de intersección, se deberá comparar el resultado obtenido con el conjunto dado:

A ∪ U= {París, Londres, Bogotá, Caracas, Buenos Aires, Rosario}
A= {París, Londres, Bogotá, Caracas, Buenos Aires, Rosario}

A ∪ U = A
{París, Londres, Bogotá, Caracas, Buenos Aires, Rosario} = {París, Londres, Bogotá, Caracas, Buenos Aires, Rosario}

Al hacerlo, se puede ver cómo coinciden de forma plena, el resultado de la operación de intersección y el conjunto dado, por lo que se puede decir que el Conjunto universal ha fungido como el elemento neutro dentro de esta operación, lo cual además viene a da como comprobada la Propiedad matemática al respecto.

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