Definiciones fundamentales

De esta forma, puede que también sea necesario enfocar esta revisión a solo cinco nociones específicas: Términos algebraicos, Igualdades, Ecuaciones, Ecuaciones equivalentes y Ecuaciones equivalentes por multiplicación, por encontrarse directamente relacionadas con los casos que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Términos algebraicos

Por consiguiente, se comenzará por decir que las Matemáticas han explicado los Términos algebraicos como un tipo de expresión matemática, conformada por elementos abstractos numéricos y elementos abstractos literales, entre los que ocurre tan solo una operación de multiplicación, por ser la única permitida, puesto que entre ellos quedan excluidas totalmente la suma, resta o división. Algunos ejemplos de términos algebraicos serán los siguientes:

2ab
-3y²
7xy²z

Así mismo, los términos algebraicos se encuentran compuestos por cuatro distintos elementos, cada uno de los cuales han sido explicados de la siguiente forma:

• Signo: el primer elemento que se encontrará en el término algebraico, cuando este se lee de izquierda a derecha, será el signo, cuya tarea es señalar si la expresión responde a una naturaleza positiva o negativa. Tradicionalmente, si el término algebraico es positivo, entonces no se anota el signo más (+). Por el contrario, si la expresión es negativa, entonces sí deberá anotarse el signo menos (-) como primer elemento del término algebraico.
• Coeficiente: por otro lado, dentro del término algebraico se encontrará también el Coeficiente, el cual está conformado por un elemento numérico, cuya misión es indicar cuál es la cantidad por la cual deberá multiplicarse el literal, toda vez que este asuma un valor específico.
• Literal: así mismo, en el Término algebraico se encontrará igualmente el Literal, elemento del término algebraico que está constituido por una letra, que tienen como tarea asumir un valor específico, en un momento determinado. Por lo general, para los literales se usan las letras a, b y c. No obstante, si el valor del numeral representa una incógnita, entonces se opta por usar las letras x, y o z.
• Grado: finalmente, en el Término algebraico, se conocerá también el Grado, el cual se encontrará constituido por el valor del exponente al cual se encuentra elevado el literal. En caso de que el término algebraico cuente con más de un literal, entonces se tomará como referencia para el Grado el exponente de mayor valor. Si el literal no cuenta con un exponente explicito, se entiende que este se encuentra elevado a la unidad, y por ende el término es de primer grado.

Igualdades

En segunda instancia, será también necesario tomar un momento para lanzar luces sobre el concepto de Igualdades, las cuales han sido explicadas como la relación que existe entre dos términos o expresiones, que resultan iguales. Así mismo, la disciplina matemática ha señalado que el signo para expresar este tipo de relaciones es el signo (=).

Por otra parte, las diferentes fuentes han indicado que las Igualdades se encuentran conformadas por dos distintos términos, explicados brevemente de la siguiente manera:

• Primer término: elemento que se encuentra dispuesto de forma anterior al signo igual (=).
• Segundo término: elemento que se encuentra ubicado después del signo igual (=).

De igual manera, las Matemáticas han explicado que las igualdades pueden ser de dos clases:

• Igualdades numéricas: cuando los términos entre los que se establece la igualdad están constituidos únicamente por elementos numéricos.
• Igualdades literales: cuando los términos entre los que se establece la igualdad, aun cuando pueden contar con número, tiene la presencia de elementos literales.

Ecuaciones

Así mismo, resultará de provecho tomar un momento para explicar el concepto de Ecuaciones, las cuales han sido explicadas entonces como la igualdad literal, en la que ocurre que el literal solo cuenta con la opción de asumir un número, para que la igualad se mantenga. Un ejemplo de ecuación podría ser el siguiente:

x + 9 = 18

Al tener esta expresión, se buscará que x asuma distintos valores, para ver si con todos los valores,  la relación de igualdad se cumple:

2 + 9 = 18 → 11 ≠ 18
5 + 9 = 18 → 14 ≠ 18
9 + 9 = 18 → 18 ≠ 18

Hecho esto, se puede comprobar entonces cómo x solo puede valer 9 para que la igualdad planteada se cumpla. Al ser entonces una igualdad que solo existe cuando x tiene un valor específico, entonces se considera que la relación es una Ecuación.

Ecuaciones equivalentes

De igual manera, se deberá tener en cuenta el concepto de Ecuaciones equivalentes, las cuales han sido explicadas entonces como aquellas ecuaciones que pese a tener términos y formas diferentes cuentan con soluciones exactamente iguales.

Ecuaciones equivalentes por multiplicación

Por último, también será necesario tener un momento para señalar cuál es el concepto de Ecuaciones equivalentes por multiplicación, las cuales han de ser explicadas entonces como aquella ecuación que una vez que sus términos se han multiplicado por el mismo elemento numérico, bien si este es positivo o negativo, entonces da como producto una ecuación, que resulta equivalente a la que la ha originado, en tanto que ambas dan con las mismas soluciones.

Ejemplos de Ecuaciones equivalentes por multiplicación

Una vez se han revisado cada una de estas explicaciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo exponer algunos casos que puedan servir de ejemplos concretos a este tipo de ecuaciones. A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Dada la siguiente ecuación: 2x = 8, hallar la Ecuación equivalente por multiplicación:

Para dar cumplimiento con la solicitud anotada en este planteamiento, será necesario entonces multiplicar cada miembro de la ecuación por el mismo número. En este caso, se multiplicará por 4:

2x . 4 = 8 . 4 → 8x = 32

Al hacerlo, se obtienen entonces dos ecuaciones:

2x = 8
8x = 32

Para determinar si estas ecuaciones son equivalentes o no, se deberá entonces resolver cada una de ellas, para descubrir si cuentan con la misma solución o no:

2x = 8 →  x = 8 : 4 → x = 4
8x = 32 → x = 32 : 8 → x = 4

Efectivamente, ambas ecuaciones tienen como solución 4, por ende, son equivalentes.

Ejemplo 2

Dada la siguiente ecuación 2x + 4 = 16, hallar su fracción equivalente por multiplicación:

Sin embargo, los términos de las ecuaciones no deben estar conformada por tan solo un término, para poder hallar su fracción equivalente por multiplicación. En este caso, se procederá igualmente entonces multiplicando cada término de la expresión por un número específico, en este caso por 2.

(2x + 4) . 2 = 16 . 2 →  4x + 8 = 32

Al hacerlo, se obtienen entonces dos distintas ecuaciones:

2x + 4 = 16
4x + 8 = 32

El siguiente paso será entonces el determinar si realmente estas ecuaciones son equivalentes o no. Para esto, se deberá simplemente resolver cada igualdad literal, para verificar que cuenten con la misma solución:

2x + 4 = 16 →  2x = 16 – 4 → 2x = 12 → x = 12 : 2 → x = 6
4x + 8 = 32 → 4x = 32 – 8 → 4x = 24 → x = 24 : 4 → x = 6

Al hacerlo, se comprueba que ambas ecuaciones cuentan con la misma solución, por lo que entonces pueden ser tenidas como expresiones equivalentes. Siendo obtenidas por medio de la multiplicación, entonces se tiene que son Ecuaciones equivalentes por multiplicación.

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