Definiciones elementales

Sin embargo, quizás lo mejor, antes de avanzar sobre los distintos casos que pueden servir de ejemplo a esta propiedad, sea revisar algunos conceptos esenciales que permitan entender la Propiedad Conmutativa de la Unión de Conjuntos en su contexto adecuado. A continuación, las definiciones:

Conjunto

En este sentido, se puede comenzar por decir que las Matemáticas conciben al conjunto como un objeto, conformado por una lista de elementos, entre los cuales puede distinguirse una misma naturaleza, es decir, que se puede considerar pertenecientes a la misma categoría. Así mismo, entre las principales características que esta disciplina atribuye al Conjunto se encuentran las siguientes:

• Se encuentra determinado, única y exclusivamente por los elementos que lo conforman.
• Al formarse en base a un criterio de agrupación, todo elemento que quiera entrar a formar parte del conjunto deberá responder a él, por lo que entonces se puede afirmar que el Conjunto no corre riesgo de cambiar en la medida en que crezca.
• Generalmente, el Conjunto es nombrado con una letra mayúscula, mientras sus elementos son presentados en forma de lista, separados por comas, y contenidos entre signos de llaves.

Unión de Conjuntos

Por su parte, la Unión de Conjuntos puede ser definida como una operación básica del Álgebra de Conjuntos, la cual establece que dos conjuntos pueden unirse entre sí, generando un tercer conjunto en donde pueden contarse todos los elementos que pertenecían a los conjuntos que participaron de esta Unión. Con respecto a su expresión matemática, las distintas fuentes teóricas coinciden en señalar que el signo que representa esta operación es ∪, mientras que la operación tomaría la siguiente forma:

A ∪ B =

Ejemplos de la Propiedad Conmutativa (Unión de Conjuntos)

Vista estas definiciones, será mucho más sencillo explicar entonces la terminología y procedimientos pertenecientes a la aplicación de la Propiedad Conmutativa inherente a la Operación de Unión, la cual señala que dos conjuntos o más conjuntos pueden unirse entre ellos en órdenes distintos sin que esto modifique en algo el conjunto resultante, lo cual podría ser expresado matemáticamente de la siguiente manera:

A ∪ B = B ∪ A

No obstante, la mejor forma de explicar esta propiedad, así como la operación que le da origen puede ser a través de ejemplos concretos, que permitan ver cómo se lleva a la práctica lo que reza la teoría. A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Dado el conjunto A, conformado por todos los colores que empiezan por la letra “p”: A= {Púrpura, Perla, Piel, Plateado} y el conjunto B, constituido por colores que empiezan por la letra “a”: B= {Anaranjado, Amarillo, Azul, Ámbar} comprobar si realmente se cumple la Propiedad Conmutativa al unir dichos conjuntos.

Para dar curso a la solicitud presentada en este postulado, será necesario entonces resolver la operación de unión, de dos formas distintas, es decir, en dos órdenes diferentes, tal como puede verse a continuación:

A= {Púrpura, Perla, Piel, Plateado}
B= {Anaranjado, Amarillo, Azul, Ámbar}

A ∪ B = {Púrpura, Perla, Piel, Plateado, Anaranjado, Amarillo, Azul, Ámbar}

B ∪ A= {Anaranjado, Amarillo, Azul, Ámbar, Púrpura, Perla, Piel, Plateado}

De esta forma, se puede ver cómo, a pesar de que los conjuntos resultantes cuenta con órdenes distintos, presentan en totalidad exactamente los mismos elementos, los cuales a su vez coinciden con los elementos de los conjuntos que entre los que se estableció la operación de Unión. Por ende se considera que la Propiedad Conmutativa se cumplió efectivamente en esta operación de Unión de conjuntos, es decir, que realmente: A ∪ B = B ∪ A

Ejemplo 2

Dado un conjunto A, conformado por animales voladores: A= {Lechuza, Águila, Búho, Paloma}; un conjunto B, en donde puedan encontrarse animales réptiles: B= {Anaconda, Lagartija, Camaleón, Lagarto, Cocodrilo}; y un elemento C, constituido por animales cuadrúpedos: C= {Perro, Gato, Vaca, León}; determinar si realmente entre ellos es posible la Propiedad Conmutativa en la Unión de Conjuntos.

En este caso, aun cuando son tres artículos, también puede darse paso a la operación de unión, y por ende a la Propiedad Conmutativa que se da en base a ella. Sin embargo, para comprobarlo, será necesario realizar la operación, por lo que se deberán unir en todos los órdenes posibles los tres conjuntos. A continuación, las operaciones:

A= {Lechuza, Águila, Búho, Paloma}
B= {Anaconda, Lagartija, Camaleón, Lagarto, Cocodrilo}
C= {Perro, Gato, Vaca, León}

A ∪ B ∪ C = {Lechuza, Águila, Búho, Paloma, Anaconda, Lagartija, Camaleón, Lagarto, Cocodrilo, Perro, Gato, Vaca, León}

B ∪ A ∪ C = {Anaconda, Lagartija, Camaleón, Lagarto, Cocodrilo, Lechuza, Águila, Búho, Paloma, Perro, Gato, Vaca, León}

C ∪ B ∪ A  = {Perro, Gato, Vaca, León, Anaconda, Lagartija, Camaleón, Lagarto, Cocodrilo, Perro, Gato, Vaca, León}

Aun cuando pueden plantearse aún más órdenes, estos tres que se han resuelto son suficientes para comprobar que independientemente de cómo han sido presentados los conjuntos, siempre forman un cuarto conjunto en donde pueden leerse la totalidad de los elementos que existen en los tres, por lo que se puede comprobar entonces que realmente se cumple la Propiedad Conmutativa, puesto que  A ∪ B ∪ C = B ∪ A ∪ C = C ∪ B ∪ A.

Ejemplo 3

Si se cuenta con un conjunto A, en donde puedan verse reunidas frutas, cuyo nombre empiezan por “t”:  A = {Toronja, Tomate, Tamarindo, Tomate de Árbol}; y un conjunto B, constituido por frutas cítricas: B= {Naranja, Mandarina, Toronja, Pomelo} comprobar si al realizar la operación de unión, puede verse que se cumpla también la Propiedad Conmutativa, inherente a esta operación:

Para cumplir con lo solicitado, será necesario realizar la operación de Unión entre estos dos conjuntos, la cual deberá realizarse de las dos formas posibles, tomando en cuenta que uno de los elementos forma parte de los dos conjuntos, por lo que al resolver la operación de Unión –tal como indica la norma, deberá ser nombrado sólo una vez:

A = {Toronja, Tomate, Tamarindo, Tomate de Árbol}
B= {Naranja, Mandarina, Toronja, Pomelo}

A ∪ B= {Toronja, Tomate, Tamarindo, Tomate de Árbol, Naranja, Mandarina, Pomelo}
B ∪ A= {Naranja, Mandarina, Toronja, Pomelo, Tomate, Tamarindo, Tomate de Árbol}

De esta forma, se puede ver igualmente cómo a pesar de que los elementos cuentan con disposiciones distintas en cada operación, en realidad ambos conjuntos cuentan con los mismos elementos, tanto en número como en identidad. En resumen, se ha comprobado que efectivamente A ∪ B = B ∪ A, es decir que sí se cumple la Propiedad Conmutativa, en esta operación de Unión de Conjuntos.

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