Cómo multiplicar polinomios

Así mismo, esta disciplina matemática ha hecho énfasis en los pasos que deben seguirse para realizar este tipo de operaciones, en las que se encuentran involucrados polinomios, expresiones algebraicas que pueden ser definidas a su vez como sumas finitas –aunque entre ellos pueden realizarse también operaciones de resta y multiplicación- de monomios y términos independientes. A continuación, algunas de ellas:

• En este sentido, el Álgebra elemental indica que al momento de comenzar a trabajar con polinomios, el primer paso que debe hacerse será revisar los términos de la expresión, y procurar un orden en ellos. Por lo general, se escoge el orden descendente.
• Teniendo ambas expresiones ordenadas, se deberá expresar entonces la multiplicación en sí, bien si se elige el método en donde un término se enfrenta a otro término, o si por el contrario se dispone la expresión con mayor cantidad de números sobre la que tiene menor cantidad de números.
• Se resolverá la operación planteada, multiplicando entonces los coeficientes de los términos, y sumando los exponentes de sus literales o variables de igual base.
• Finalmente, en caso de existir términos semejantes, se buscará hacer una reducción entre ellos, a fin de lograr la expresión algebraica más reducida.

Ejemplos de multiplicación de polinomios

Por otro lado, a la hora de hablar de los casos que pueden servir de ejemplo  a la multiplicación de polinomios, es importante decir también que no se puede hablar de un solo caso, puesto que un polinomio puede ser multiplicado por tres tipos de expresiones diferentes: bien sea un término independiente (es decir, aquel elemento numérico en donde no es posible distinguir ninguna variable);  un monomio (expresión algebraica elemental consistente en el producto entre un número y una letra, esta última elevada siempre a un número entero y positivo); o también por otro polinomio; hecho éste que a su vez originará varios casos posibles de multiplicación de polinomios, los cuales pueden verse reflejados en los siguientes ejemplos:

Si es por un término independiente

El primer caso tomará en cuenta la multiplicación que puede ocurrir entre un número, o término independiente, y un polinomio, operación que requerirá entonces multiplicar el valor del término independiente por el coeficiente de cada uno de los términos del polinomio, tal como puede verse en las operaciones que se presentan a continuación:

3 . (2x⁴ + x³ + 2x² + 5) =

(3 . 2x⁴) + (3. x³) + (3.2x²) + (3. 5)=

(3 . 2)x⁴ + (3. 1) x³ + (3.2)x² + (3. 5)=

6x⁴ + 3x³ + 6x² + 15

Resultado: 3 . (2x⁴ + x³ + 2x² + 5) = 6x⁴ + 3x³ + 6x² + 15

2 . (3x – 4 + 2x² – x³)=  

3x – 4 + 2x² – x³ →  2x² – x³+3x – 4 (orden descendente)

2 .  (2x² – x³+3x – 4)=

(2 . 2x²) + (2. – x³) + (2.3x) + (2.-4)=

(2 . 2)x² + (2.-1) x³ + (2.3)x + (-8)=

4x² + (-2) x³ + 6x -8 =

4x² -2x³ + 6x -8

Resultado: 2 . (3x – 4 + 2x² – x³)=   4x² -2x³ + 6x -8

4 .  (-3x + 4 – 2x² +x⁴ – 3x³)=

-3x + 4 – 2x² +x⁴ – 3x³ → x⁴ – 3x³ – 2x² -3x + 4  (orden descendente)

4 . (x⁴ – 3x³ – 2x² -3x + 4)=

(4 . x⁴) + (4. – 3x³) + (4. – 2x²) +(4.-3x) + (4.4)=

(4 .1) x⁴ + (4. – 3)x³ + (4. – 2)x² +(4.-3)x) + (16)=

(4) x⁴ + (-12)x³ + (-8)x² +(-12)x + (16)=

Resultado:  4 .  (-3x + 4 – 2x² +x⁴ – 3x³)=  4x⁴ -12x³ -8x² -12x + 16

Un monomio por un polinomio

También puede suceder que la multiplicación se plantee entre un monomio y un polinomio, en cuyo caso será necesario multiplicar el coeficiente del monomio por el coeficiente de cada término del polinomio, mientras que los exponentes de cada literal deberán sumarse. A continuación, algunos ejemplos de este tipo de multiplicación de polinomios:

2x² . ( 3x + x² + 2 + 2x²)=

3x + x² + 2 + 2x² → 2x²+ x² +3x + 2 (orden descendente)

2x² .  (2x²+ x² +3x + 2)=

(2x² . 2x²)+ (2x² .x²) + (2x². 3x) +(2. 2)=

(2 .2)x²⁺²+ (2.1) x²⁺² + (2.3)x²⁺¹ +(2. 2)=

4x⁴+ 2x⁴ + 6x³ + 4

Resultado:  2x² . (2x²+ x² +3x + 2)=  4x⁴+ 2x⁴ + 6x³ + 4

3x² .  (2x⁴y³ – 3x³y² + 4x²y + 5x – 4)=

(3x² . 2x⁴y³) + (3x² .– 3x³y²) + (3x² . 4x²y) + (3x² . 5x) + (3x² . – 4)=

(3. 2) x⁴⁺²y³ + (3.– 3)x³⁺²y² + (3.4)x²y + (3.5)x¹⁺² + (3 . – 4)x²=

(6) x⁶y³ + (-9)x⁵y² + (12)x⁴y + (15)x³ + (-12)x²=

6x⁶y³ -9x⁵y² + 12x⁴y + 15x³ -12x²

Resultado:  3x² .  (2x⁴y³ – 3x³y² + 4x²y + 5x – 4)=  6x⁶y³ -9x⁵y² + 12x⁴y + 15x³ -12x²

5x³y .  (4 – 3x + 2x² + 5x³) =

4 – 3x + 2x² + 5x³ → 5x³+ 2x² – 3x + 4 (orden descendente)

(5x³y) .  (5x³+ 2x² – 3x + 4)=

(5x³y . 5x³) + (5x³y.2x²) +(5x³y . – 3x) + (5x³y.4)=

(5.5)x³⁺³y + (5.2)x³⁺²y +(5.-3x)³⁺¹y + (5.4)x³y=

25x⁶y + 10x⁵y -15x⁴y + 20x³y

Resultado: 5x³y .  (4 – 3x + 2x² + 5x³) = 25x⁶y + 10x⁵y -15x⁴y + 20x³y

Polinomio por polinomio

Finalmente, otro de los casos que se puede dar en cuanto a la multiplicación de polinomios será la que plantee la multiplicación de un polinomio por otro polinomio, y en donde la operación se resolverá multiplicando cada uno de los términos de un polinomio por los términos del otro, a través de la multiplicación de sus coeficientes y la suma de sus exponentes. Así mismo, la multiplicación de polinomios podrá llevarse a cabo siguiendo dos procedimientos específicos, bien sea colocando una expresión frente a otra; bien, colocando la expresión con mayor cantidad de términos encima de la otra. A continuación, algunos ejemplos:

(3x² + x) .  (8x³ + 2x² + x – 4) =

(3x². 8x³) + (3x².2x²) + (3x².x) + (3x².– 4) + (x .8x³) + (x.2x²) + (x.x) + (x. – 4)=

(3.8)x²⁺³ + (3.2)x²⁺² + (3.1)x²⁺¹ + (3.– 4)x² + (1.8)x³⁺¹ + (1.2x)²⁺¹ + (1.1)x¹⁺¹ + (1. – 4)x =

(24)x⁵ + (6)x⁴ + (3)x³ + (-12)x² + (8)x⁴ + (2x)³ + (2)x² + (– 4)x =

24x⁵ + 6x⁴ + 3x³ -12x² + 8x⁴ + 2x³ + 2x² – 4x =

24x⁵ +(6x⁴ + 8x⁴) + (3x³+ 2x³) + (-12x² + 2x²) – 4x =

24x⁵ + (14x⁴) + (5x³) + (-10x²) – 4x =

24x⁵ + (14x⁴) + (5x³) + (-10x²) – 4x =

24x⁵ + 14x⁴ + 5x³ -10x² – 4x

Resultado: (3x² + x) .  (8x³ + 2x² + x – 4) = 24x⁵ + 14x⁴ + 5x³ -10x² – 4x

(5x²y – 3x) . (6x³ – x² + 3xy – 4)=

(5x²y .6x³) + (5x²y . – x²) + (5x²y . 3xy) +  (5x²y. – 4)+ (– 3x. 6x³) + (– 3x.– x²) + (– 3x.3xy) + (-3x.–4)=

(5.6)x³⁺²y +(5.-1x²⁺²y)+(5.3)x²⁺¹y +(5.-4)x²y+ (-3. 6)x³⁺¹+(-3.-1)x²⁺¹+(-3.3)x¹⁺¹y +(-3.–4)x=

30x⁵y + (-5)x⁴y + 15x³y + (-20)x²y + (-18)x⁴ + (4)x³ + (-9)x²y + (12)x=

30x⁵y -5x⁴y + 15x³y -20x²y -18x⁴ + 4x³ -9x²y + 12x

Resultado:

(5x²y – 3x) . (6x³ – x² + 3xy – 4)=  30x⁵y -5x⁴y + 15x³y -20x²y -18x⁴ + 4x³ -9x²y + 12x

(2x³ – 2x + 4) .  (5x⁴ – x³ + 2x² – 3x + 3)=

Resultado:

(2x³ – 2x + 4) .  (5x⁴ – x³ + 2x² – 3x + 3)=  10x⁷ – 2x⁶ – 6x⁵ +16x⁴ -2x³ + 14x² – 18x + 12

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