Dentro del Álgebra elemental se conoce con el nombre de Ordenamiento de un polinomio a la operación algebraica destinada a disponer los elementos de una expresión de tipo polinómica según el valor de los grados de sus términos, tomando como referencia el mayor de ellos.
Pasos para ordenar un polinomio
En este sentido, esta disciplina matemática también ha señalado cuál debe ser la secuencia de pasos que debe seguirse a la hora de ordenar un polinomio, y que básicamente se pueden resumir de la siguiente manera:
- Revisar si el polinomio se puede catalogar como una expresión de una sola variable, o de varias, pues esto determinará la forma en que se hará la operación.
- Verificar cuál es el grado de mayor valor dentro de los términos del polinomio. En caso de que se trate de un polinomio de una sola variable bastará con determinar cuál es el exponente de mayor valor. Si por el contrario el polinomio cuenta con más de una variable, será necesario sumar los exponentes de cada monomio, a fin de determinar sus grados absolutos, escogiendo el mayor como equivalente al grado del polinomio.
- Disponer los términos según el orden solicitado o decidido.
Orden ascendente de un polinomio
En cuanto al Orden que puede adquirir un polinomio, las distintas fuentes teóricas afirman que una expresión algebraica de este tipo puede ser dispuesta de dos modos específicos. En primer lugar, puede organizarse desde el término que posea del mayor grado hasta el de menor grado, en cuyo caso se signará como un polinomio ordenado de forma descendente. Por su parte, el Orden ascendente de un polinomio será aquel que disponga los términos desde el término de menor grado hasta el de mayor grado. Un punto importante a tener en cuenta es que los términos independientes del polinomio también entran en la disposición, puesto que al no contar con una variable, se asume que son de grado cero.
Ejemplos de orden ascendente de un polinomio
No obstante, la mejor forma de entender las definiciones inherentes a la operación de ordenar de forma ascendente un polinomio, será a través de la exposición de ejemplos que permitan colocar en prácticas dichos conceptos. A continuación, algunos de ellos:
Dado el polinomio P(x) = 6x5 – 3x2 + x4 + 2x + 4 ordenar de forma ascendente
En este caso, lo primero que deberá hacerse es revisar si se trata de un polinomio de una variable o de varias. Como es una expresión algebraica de una variable, se debe entonces determinar cuál es el grado del polinomio, determinando entonces cuál es el exponente de mayor valor, el cual resulta equivalente a 5. Por querer organizarse de forma ascendente, se deberá entonces identificar también cuál será el término de menor valor, el cual es equivalente a cero, perteneciendo al término independiente. Identificados estos límites, se deberá por último disponer los términos del polinomio en orden ascendente, es decir, desde el grado de menor valor al de mayor valor:
P(x) = 6x5 – 3x2 + x4 + 2x + 4 → P(x) = 4 + 2x – 3x2 + x4 + 6x5 (orden ascendente)
Dado el polinomio P(a)= 4 – 5 – 8 + a5 – 2a + 4a3 ordenar de forma ascendente
En este caso, se puede observar un polinomio que cuenta con una sola variable, además de varios términos independientes, todos con grado equivalente a cero. A fin de ordenarlo de forma ascendente, se deberá determinar igualmente el mayor grado al que se encuentra elevada a, el cual equivale a 3. Determinados estos límites, se procederá a disponer los términos desde el término de menor grado hasta el de mayor:
P(a)= 4 – 5 – 8 + a5 – 2a + 4a3 → P(a)= 4 – 5 – 8 – 2a + 4a3 + a5 (orden ascendente)
Dado el polinomio P(x,y) = 2xy – 3x2y + 4xy4 + 7x3y5 – 4 ordenar de forma ascendente según x
Cuando se está frente a un polinomio de más de una variable y se debe ordenar la expresión, por lo general se debe escoger cuál será la variable ordenatriz, es decir, la que se tomará de guía para hacer la disposición de los términos. En este caso, el postulado indica que el polinomio deberá ser ordenado según la variable x, por lo que entonces se deberá seguir el paso de identificar cuál es el mayor grado que puede verse en ella, el cual es equivalente a 3. Así mismo, se deberá detectar cuál es el exponente de menor valor, que resulta ser el grado 0 perteneciente al término independiente. Identificados estos parámetros, se deberán disponer los términos, según el orden ascendente que dicta la variable x:
P(x,y) = 2xy – 3x2y + 4xy4 + 7x3y5 – 4 → P(x,y) = – 4 + 2xy + 4xy4 – 3x2y + 7x3y5 (orden ascendente)
Dado el polinomio P(x,y,z) = 4xy2 – xyz3 – 5x2yz2 + 5x3 – 6y2 + z4 ̶ 6 ordenar de forma ascendente según cada una de sus variables
En este caso, se puede ver un polinomio, que aun cuando no tiene presencia de todas las variables en cada uno de sus monomios, al tener monomios de variables distintas ya puede considerarse un polinomio de más de una variable. Así mismo, en vistas de que la solicitud planteada en el postulado habla de ordenarlo según cada una de sus variables, entonces se deberá determinar primero cuál es el máximo grado de cada una de ellas:
Máximo grado de la variable x → 3
Máximo grado de la variable y → 2
Máximo grado de la variable z → 4Así mismo, se tendrá que el menor grado será inherente al del término independiente, el cual puede ser considerado como equivalente a cero. Determinados estos límites, se deberá entonces colocar disponer el polinomio según los órdenes ascendentes inherentes a cada una de las tres variables que puedan verse en el polinomio:
Según la variable x:
P(x,y,z) = -6 + 4xy2 – xyz3 – 5x2yz2 + 5x3 – 6y2 + z4
Según la variable y:
P(x,y,z) = -6 – xyz3 – 5x2yz2 + 4xy2– 6y2 + 5x3 + z4
Según la variable z:
P(x,y,z) = -6 – 5x2yz2 – xyz3+ z4 + 4xy2– 6y2 + 5x3
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